Άσκηση ολοκληρωμάτων 138

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 138 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x + 3x + 2 dx . 0 2 Είναι 1 1 x −1 x −1 Ι= ∫0 2 x + 3x + 2 dx = ∫ 0 (x + 1)(x + 2) dx . Είναι x −1 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x + 1)(x + 2) x +1 x+2 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω x − 1 = α(x + 2) + β(x + 1) ⇔ x − 1 = αx + 2α + βx + β ⇔ ⇔ (α + β)x + (2α + β) = x − 1 , ⎧⎪ α + β = 1 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου εύκολα προκύπτει α = −2 , β = 3 . ⎬ ⎪⎪ 2α + β = −1 ⎪⎪ ⎩ ⎭ Άρα είναι 1 1 1 ⎛ −2 3 ⎞⎟ 1 1 Ι= ∫ 0 ⎜⎜ ⎜⎝ x + 1 + ⎟⎟ dx = 3 ⋅ x + 2 ⎟⎠ ∫0 x+2 dx − 2 ⋅ ∫0 x +1 dx = 1 1 1 1 = 3⋅ ∫ 0 x+2 ⋅ (x + 2)′ dx − 2 ⋅ ∫ x + 1 ⋅ (x + 1)′ dx = 0 1 1 1 1 ∫ ∫ 1 1 = 3⋅ d(x + 2) − 2 ⋅ d(x + 1) = 3 ⋅ ⎡⎢ ℓn(x + 2)⎤⎥ − 2 ⋅ ⎡⎢ ℓn(x + 1)⎤⎥ = x+2 x +1 ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦0 0 0 = 3 ⋅ ⎡⎢ ℓn(1 + 2) − ℓn(0 + 2)⎤⎥ − 2 ⋅ ⎡⎢ ℓn(1 + 1) − ℓn(0 + 1)⎤⎥ = 3(ℓn3 − ℓn2) − 2ℓn2 = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 3ℓn3 − 3ℓn2 − 2ℓn2 ⇒ Ι = 3ℓn3 − 5ℓn2 . - 210 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 x −1

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα