Άσκηση ολοκληρωμάτων 137

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 137 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 2 x3 − x dx . Είναι 3 3 3 x 2 − 2x − 1 x 2 − 2x − 1 x 2 − 2x − 1 Ι= ∫ 2 x3 − x dx = ∫2 x(x 2 − 1) dx = ∫ 2 x(x − 1)(x + 1) dx . Είναι x 2 − 2x − 1 α β γ = + + , όπου α , β , γ ∈ ! . x(x − 1)(x + 1) x x −1 x +1 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω x 2 − 2x − 1 = α(x − 1)(x + 1) + βx(x + 1) + γx(x − 1) ⇔ ⇔ x 2 − 2x − 1 = α(x 2 − 1) + βx 2 + βx + γx 2 − γx ⇔ ⇔ x 2 − 2x − 1 = αx 2 − α + βx 2 + βx + γx 2 − γx ⇔ ⇔ (α + β + γ)x 2 + (β − γ)x − α = x 2 − 2x − 1 , ⎧⎪ α + β + γ = 1 ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ β − γ = −2 ⎪⎬ , από όπου προκύπτει α = 1 , β = −1 , γ = 1 . ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩⎪ −α = −1 ⎪⎪⎭⎪ Άρα είναι 3 3 3 3 ⎛1 ⎞ ⎜⎜ − 1 + 1 ⎟⎟ dx = 1 1 1 Ι= ∫2 ⎜⎝ x x −1 ⎟ x + 1⎠⎟ ∫ 2 x dx − ∫2 x −1 dx + ∫ x + 1 dx = 2 3 3 1 1 ∫ ∫ 3 = ⎡⎢ ℓnx ⎤⎥ − ⋅ (x − 1)′ dx + ⋅ (x + 1)′ dx = ⎣ ⎦2 x −1 x +1 2 2 3 3 1 1 = ℓn3 − ℓn2 − ∫2 x −1 d(x − 1) + ∫ x + 1 d(x + 1) = 2 3 3 = ℓn3 − ℓn2 − ⎡⎢ ℓn(x − 1)⎤⎥ + ⎡⎢ ℓn(x + 1)⎤⎥ = ⎣ ⎦2 ⎣ ⎦2 = ℓn3 − ℓn2 − ⎡⎢ ℓn(3 − 1) − ℓn(2 − 1)⎤⎥ + ℓn(3 + 1) − ℓn(2 + 1) = ⎣ ⎦ = −ℓn2 − ℓn2 + ℓn4 = ℓn22 − 2ℓn2 = 2ℓn2 − 2ℓn2 ⇒ Ι = 0 . - 209…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα