Άσκηση ολοκληρωμάτων 136

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 136 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x − 6x − 7 dx . 2 2 Είναι 3 3 x+2 x+2 Ι= ∫ 2 2 x − 6x − 7 dx = ∫ 2 (x − 7)(x + 1) dx . Είναι x+2 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x − 7)(x + 1) x−7 x +1 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω x + 2 = α(x + 1) + β(x − 7) ⇔ x + 2 = αx + α + βx − 7β ⇔ ⇔ (α + β)x + (α − 7β) = x + 2 , ⎧⎪ α + β = 1 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου εύκολα προκύπτει α = 9 , β = − 1 . ⎬ ⎪⎪ α − 7β = 2 ⎪⎪ 8 8 ⎩ ⎭ Άρα είναι ⎛ 9 1 ⎞⎟ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ 3 3 ⎜⎜ 8 ⎟ 9 1 1 1 Ι= ∫ 2 ⎜ ⎜⎜ ⎜ x−7 − 8 ⎟⎟ dx = ⋅ x + 1⎟⎟⎟ 8 x−7 dx − ⋅ 8 ∫x +1 dx = ∫ ⎜⎝ ⎟⎠ 2 2 3 3 9 1 1 1 = ⋅ 8 ∫ 2 x−7 ⋅ (x − 7)′ dx − ⋅ 8 ∫2 x +1 ⋅ (x + 1)′ dx = 3 3 9 1 1 1 9 3 1 ∫ ∫ 3 = ⋅ d(x − 7) − ⋅ d(x + 1) = ⋅ ⎡⎢ ℓn x − 7 ⎤⎥ − ⋅ ⎡⎢ ℓn(x + 1)⎤⎥ = 8 x−7 8 x +1 8 ⎣ ⎦2 8 ⎣ ⎦2 2 2 9 1 = 8 ( ) ⋅ ℓn 3 − 7 − ℓn 2 − 7 − ⋅ ⎡⎢ ℓn(3 + 1) − ℓn(2 + 1)⎤⎥ = 8 ⎣ ⎦ 9 1 9 9 1 1 = ⋅ (ℓn4 − ℓn5) − ⋅ (ℓn4 − ℓn3) = ℓn4 − ℓn5 − ℓn4 + ℓn3 ⇒ 8 8 8 8 8 8 9 1 ⇒ Ι = ℓn4 − ℓn5 + ℓn3 . 8 8 - 208 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα