Άσκηση ολοκληρωμάτων 135

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 135 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x − 5x + 6 dx . 1 2 Είναι 0 0 2x + 1 2x + 1 Ι= ∫ 1 2 x − 5x + 6 dx = ∫1 (x − 2)(x − 3) dx . Είναι 2x + 1 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x − 2)(x − 3) x −2 x −3 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 2x + 1 = α(x − 3) + β(x − 2) ⇔ 2x + 1 = αx − 3α + βx − 2β ⇔ ⇔ (α + β)x + (−3α − 2β) = 2x + 1 , ⎧⎪ α + β = 2 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου εύκολα προκύπτει α = −5 , β = 7 . ⎬ ⎪⎪ −3α − 2β = 1 ⎪⎪ ⎩ ⎭ Άρα είναι 0 0 0 ⎛ −5 7 ⎞⎟ 1 1 Ι= ∫ 1 ⎜⎜ ⎜⎝ x − 2 + ⎟⎟ dx = 7 ⋅ x − 3 ⎟⎠ ∫ 1 x −3 dx − 5 ⋅ ∫ 1 x −2 dx = 0 0 1 1 = 7⋅ ∫ 1 x −3 ⋅ (x − 3)′ dx − 5 ⋅ ∫ x − 2 ⋅ (x − 2)′ dx = 1 0 0 1 1 0 0 = 7⋅ ∫ 1 x −3 d(x − 3) − 5 ⋅ ∫ 1 x −2 d(x − 2) = 7 ⋅ ⎡⎢ ℓn x − 3 ⎤⎥ − 5 ⋅ ⎡⎢ ℓn x − 2 ⎤⎥ = ⎣ ⎦1 ⎣ ⎦1 ( ) ( = 7 ⋅ ℓn 0 − 3 − ℓn 1 − 3 − 5 ⋅ ℓn 0 − 2 − ℓn 1 − 2 = 7(ℓn3 − ℓn2) − 5ℓn2 = ) = 7ℓn3 − 7ℓn2 − 5ℓn2 ⇒ Ι = 7ℓn3 − 12ℓn2 . - 207 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 3 x+2

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα