Άσκηση ολοκληρωμάτων 131

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 131 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫2 2 x −1 dx . Είναι 3 3 2 2 Ι= ∫ 2 2 x −1 dx = ∫ 2 (x − 1)(x + 1) dx . Το (σταθερό και μη μηδενικό) πολυώνυμο του αριθμητή έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του παρονομαστή και ο παρονομαστής παραγοντοποιείται. Τον παραγοντοποιώ και μετά «σπάω» το κλάσμα σε άθροισμα δύο άλλων. Είναι 2 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x − 1)(x + 1) x −1 x +1 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 2 = α(x + 1) + β(x − 1) ⇔ αx + α + βx − β = 2 ⇔ (α + β)x + (α − β) = 2 , ⎧⎪ α + β = 0 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου εύκολα προκύπτει α = 1 , β = −1 . ⎬ ⎪⎪ α − β = 2 ⎪⎪ ⎩ ⎭ Υπενθυμίζεται ότι το παραπάνω σύστημα προέκυψε από την ισότητα πολυωνύμων (α + β)x + (α − β) = 2 . Άρα είναι 3 3 3 ⎛ 1 1 ⎞⎟ 1 1 Ι= ∫ 2 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ x − 1 x + 1⎟⎠⎟ dx = − ∫2 x −1 dx − ∫ x + 1 dx = 2 3 3 3 3 1 1 1 1 = ∫2 x −1 ⋅ (x − 1)′ dx − ∫2 x +1 ⋅ (x + 1)′ dx = ∫ 2 x −1 d(x − 1) − ∫2 x +1 d(x + 1) = 3 3 = ⎡⎢ ℓn(x − 1)⎤⎥ − ⎡⎢ ℓn(x + 1)⎤⎥ = ℓn(3 − 1) − ℓn(2 − 1) − ⎡⎢ ℓn(3 + 1) − ℓn(2 + 1)⎤⎥ = ⎣ ⎦2 ⎣ ⎦2 ⎣ ⎦ 3 = ℓn2 − (ℓn4 − ℓn3) = ℓn2 − ℓn22 + ℓn3 = ℓn2 − 2ℓn2 + ℓn3 = ℓn3 − ℓn2 ⇒ Ι = ℓ…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα