Άσκηση ολοκληρωμάτων 129

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 129 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x συν(3x − 1) dx . 0 2 π π π 1 1 Ι= ∫0 2 x συν(3x − 1) dx = 6 ⋅ ∫0 2 συν(3x − 1) ⋅ 6x dx = 6 ⋅ ∫ συν(3x − 1) ⋅ (3x − 1)′ dx = 0 2 2 π 1 1 ⎡ π 1 ⎡ = 6 ⋅ ∫ 0 συν(3x 2 − 1) d(3x 2 − 1) = 6 ⋅ ⎢ηµ(3x 2 − 1)⎤⎥ = ⎣ ⎦ 0 ⋅ ⎢ηµ(3π2 − 1) − ηµ(3 ⋅ 02 − 1)⎤⎥ = 6 ⎣ ⎦ π Είναι (3x − 1)′dx = d(3x − 1) , ενώ το 2 2 ∫ συν(3x − 1) d(3x − 1) είναι της μορφής 0 2 2 β ∫ συνy dy και δίνει ⎡⎣⎢ηµy⎤⎦⎥ . β α α 1 ⎡ 1 ⎡ = ⋅ ⎢ηµ(3π2 − 1) − ηµ(−1)⎤⎥ ⇒ Ι = ⋅ ⎢ηµ(3π2 − 1) + ηµ1⎤⎥ . 6 ⎣ ⎦ 6 ⎣ ⎦ Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα π π π 1 1 Ι= ∫0 2 x συν(3x − 1) dx = 6 ⋅ ∫0 2 συν(3x − 1) ⋅ 6x dx = 6 ⋅ ∫ συν(3x − 1) ⋅ (3x − 1)′ dx = 0 2 2 π 1 ⎡ηµ(3x 2 − 1)⎤ ′ dx = 1 ⋅ ⎡ηµ(3x 2 − 1)⎤ = 1 ⋅ ⎡ηµ(3π2 − 1) − ηµ(3 ⋅ 02 − 1)⎤ = π = 6 ⋅ ∫ 0 ⎢⎣ ⎥⎦ 6 ⎢⎣ ⎥⎦ 0 6 ⎢⎣ ⎥⎦ 1 ⎡ 1 ⎡ = ⋅ ⎢ηµ(3π2 − 1) − ηµ(−1)⎤⎥ ⇒ Ι = ⋅ ηµ(3π2 − 1) + ηµ1⎤⎥ . 6 ⎣ ⎦ 6 ⎢⎣ ⎦ Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω 3x 2 − 1 = y . Τότε είναι 1 d(3x 2 − 1) = d(y) ⇔ (3x 2 − 1)′dx = (y)′dy ⇔ 6xdx = dy ⇔ xdx = dy . 6 - 185 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα