Άσκηση ολοκληρωμάτων 126

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 126 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 0 1 + ηµx dx . π π π π συνx 1 1 1 Ι= ∫ 0 1 + ηµx dx = ∫0 1 + ηµx ⋅ συνx dx = ∫ 0 1 + ηµx ⋅ (1 + ηµx)′ dx = ∫ 1 + ηµx d(1 + ηµx) = 0 Είναι (1 + ηµx)′dx = d(1 + ηµx) , άρα π = ⎡⎢ ℓn 1 + ηµx ⎤⎥ = ℓn 1 + ηµπ − ℓn 1 + ηµ0 = ℓn 1 + 0 − ℓn 1 + 0 ⇒ Ι = 0 . ⎣ ⎦0 π β 1 1 β Το ∫ 0 1 + ηµx d(1 + ηµx) είναι της μορφής ∫α y dy και δίνει ⎡⎢ ℓn y ⎤⎥ . ⎣ ⎦α Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα π π π π συνx 1 1 ′ Ι= ∫ 0 1 + ηµx dx = ∫0 1 + ηµx ⋅ συνx dx = ∫ 0 1 + ηµx ⋅ (1 + ηµx)′ dx = ∫ ( ℓn 1 + ηµx ) dx = 0 π = ⎡⎢ ℓn 1 + ηµx ⎤⎥ = ℓn 1 + ηµπ − ℓn 1 + ηµ0 ⇒ Ι = 0 . ⎣ ⎦0 - 181 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω 1 + ηµx = y . Τότε είναι d(1 + ηµx) = d(y) ⇔ (1 + ηµx)′dx = (y)′dy ⇔ συνx dx = dy . • Όταν x = 0 , τότε y = 1 + ηµ0 = 1 + 0 = 1 . • Όταν x = π , τότε y = 1 + ηµπ = 1 + 0 = 1 . Άρα είναι π 1 1 1 Ι= ∫0 1 + ηµx ⋅ συνx dx = ∫…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα