Άσκηση ολοκληρωμάτων 125

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 125 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x dx . π2 4π2 4π2 4π2 4π2 ′ ∫ συν x ⋅ 2 x dx = 2 ⋅ ∫ συν x ⋅ ( x ) dx = 2 ⋅ ∫ συν x d ( x ) = συν x 1 Ι= ∫ x dx = 2 ⋅ π2 π2 π2 π2 ′ Είναι ( x ) dx = d ( x ) , άρα ( ) 4π2 = 2 ⋅ ⎡⎢ηµ x ⎤⎥ = 2 ⋅ ηµ 4π2 − ηµ π2 = 2 ⋅ (ηµ2π − ηµπ) = 2 ⋅ (0 − 0) ⇒ Ι = 0 . ⎣ ⎦ π2 4π2 β ∫ ( x ) είναι της μορφής ∫ συνy dy και δίνει ⎡⎣⎢ηµy⎤⎦⎥ . β Το συν x d α π2 α Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα 4π2 4π2 4π2 4π2 ′ ′ Ι= ∫ συν x x dx = 2 ⋅ ∫ συν x ⋅ 1 2 x dx = 2 ⋅ ∫ συν x ⋅ ( x ) dx = 2 ⋅ ∫ (ηµ x ) dx = π2 π2 π2 π2 ( ) = 2 ⋅ ηµ 4π2 − ηµ π2 = 2 ⋅ (ηµ2π − ηµπ) ⇒ Ι = 0 . - 180 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω x =y. Τότε είναι x = y2 και d(x) = d(y2 ) ⇔ (x)′dx = (y2 )′dy ⇔ dx = 2ydy . • Όταν x = π2 , τότε y = π2 = π . • Όταν x = 4π2 , τότε y = 4π2 = 2π . Άρα είναι 2π 2π συνy ∫ ∫ 2π Ι= ⋅ 2 y dy = 2 ⋅ συνy dy = 2 ⋅ ⎡⎢ηµy ⎤⎥ = 2(ηµ2π − ηµ…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα