Άσκηση ολοκληρωμάτων 124

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 124 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 1 x dx . e e e e συν(ℓnx) 1 Ι= ∫1 x dx = ∫ 1 συν(ℓnx) ⋅ dx = x ∫ συν(ℓnx) ⋅ (ℓnx)′ dx = ∫ συν(ℓnx) d(ℓnx) = 1 1 e = ⎡⎢ηµ(ℓnx)⎤⎥ = ηµ(ℓne) − ηµ(ℓn1) ⇒ Ι = ηµ1 . ⎣ ⎦1 e β Είναι (ℓnx)′dx = d(ℓnx) , ενώ το ∫ συν(ℓnx) d(ℓnx) είναι της μορφής ∫ συνy dy και 1 α β δίνει ⎡⎢ηµy ⎤⎥ . ⎣ ⎦α Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα e e e e συν(ℓnx) 1 ⎡ηµ(ℓnx)⎤ ′ dx = Ι= ∫1 x dx = ∫ 1 συν(ℓnx) ⋅ dx = x ∫ 1 συν(ℓnx) ⋅ (ℓnx)′ dx = ∫ 1 ⎢⎣ ⎥⎦ e = ⎡⎢ηµ(ℓnx)⎤⎥ = ηµ(ℓne) − ηµ(ℓn1) ⇒ Ι = ηµ1 . ⎣ ⎦1 - 179 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω ℓnx = y . Τότε είναι 1 d(ℓnx) = d(y) ⇔ (ℓnx)′dx = (y)′dy ⇔ dx = dy . x • Όταν x = 1 , τότε y = ℓn1 = 0 . • Όταν x = e , τότε y = ℓne = 1 . Άρα είναι e 1 1 ∫ ∫ 1 Ι= συν(ℓnx) ⋅ dx = συνy dy = ⎡⎢ηµy ⎤⎥ = ηµ1 − ηµ0 ⇒ Ι = ηµ1 . x ⎣ ⎦0 1 0 4π2 συν x

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα