Άσκηση ολοκληρωμάτων 122

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 122 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x(2 + ℓnx) . 1 e e e e dx 1 1 1 1 Ι= ∫ 1 x(2 + ℓnx) = ∫ 1 ⋅ dx = 2 + ℓnx x ∫ 1 2 + ℓnx ⋅ (2 + ℓnx)′ dx = ∫ 2 + ℓnx d(2 + ℓnx) = 1 Είναι (2 + ℓnx)′dx = d(2 + ℓnx) . e 3 = ⎡⎢ ℓn 2 + ℓnx ⎤⎥ = ℓn 2 + ℓne − ℓn 2 + ℓn1 = ℓn3 − ℓn2 ⇒ Ι = ℓn . ⎣ ⎦1 2 e β 1 1 β Το ∫ 1 2 + ℓnx d(2 + ℓnx) είναι της μορφής ∫ α y dy και δίνει ⎡⎢ ℓn y ⎤⎥ . ⎣ ⎦α Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα e e e e dx 1 1 1 ′ Ι= ∫ x(2 + ℓnx) = ∫ ⋅ dx = 2 + ℓnx x ∫ 2 + ℓnx ⋅ (2 + ℓnx)′ dx = ∫ ( ℓn 2 + ℓnx ) dx = 1 1 1 1 e 3 = ⎡⎢ ℓn 2 + ℓnx ⎤⎥ = ℓn 2 + ℓne − ℓn 2 + ℓn1 = ℓn3 − ℓn2 ⇒ Ι = ℓn . ⎣ ⎦1 2 Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω 2 + ℓnx = y . Τότε είναι 1 d(2 + ℓnx) = d(y) ⇔ (2 + ℓnx)′dx = (y)′dy ⇔ dx = dy . x • Όταν x = 1 , τότε y = 2 + ℓn1 = 2 + 0 = 2 . • Όταν x = e , τότε y = 2 + ℓne = 2 + 1 = 3 . Άρα είναι e 3 1 1 1 3 3 Ι= ∫ 1 ⋅ dx = 2 + ℓnx x ∫2 y dy = ⎡⎢ ℓn y ⎤⎥ = ℓn3 − ℓn2 ⇒ Ι = ℓn ⎣ ⎦2 2 . - 177 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ό…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα