Άσκηση ολοκληρωμάτων 119

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 119 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫1 x3 + 8 dx . 2 2 2 x2 1 1 2 1 Ι= ∫1 x3 + 8 dx = ⋅ 2 ⋅ 3 ∫ 1 2 x3 + 8 2 ⋅ 3x dx = ⋅ 3 ∫ 2 x + 8 ⋅ (x + 8)′ dx = 1 3 3 Είναι (x 3 + 8)′dx = d(x 3 + 8) . 2 ( 2 + 8 − 1 + 8 ) ⇒ Ι = 32 . 2 2 1 2 ⎡ 3 ⎤ 2 = ⋅ 3 ∫ 2 x +8 1 3 d(x 3 + 8) = ⋅ ⎢ x + 8⎥ = ⋅ 3 ⎣ ⎦1 3 3 3 - 174 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 2 β 1 1 β dy και δίνει ⎡⎢ y ⎤⎥ . Το ∫ 2 x +8 1 3 3 d(x + 8) είναι της μορφής ∫ α 2 y ⎣ ⎦α Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα 2 2 2 x2 1 1 2 1 Ι= ∫ 1 3 x +8 dx = ⋅ 2 ⋅ 3 ∫ 1 3 2 x +8 ⋅ 3x dx = ⋅ 3 2 ∫ 2 x + 8 ⋅ (x + 8)′ dx = 1 3 3 2 ′ ∫( ) ( 2 + 8 − 1 + 8 ) ⇒ Ι = 32 . 2 2 2 ⎡ ⎤ 2 = ⋅ x 3 + 8 dx = ⋅ ⎢ x 3 + 8 ⎥ = ⋅ 3 3 3 3 ⎣ ⎦1 3 1 Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω x3 + 8 = y . Τότε είναι x 3 + 8 = y2 και 2 d(x 3 + 8) = d(y2 ) ⇔ (x 3 + 8)′dx = (y2 )′dy ⇔ 3x 2dx = 2ydy ⇔ x 2dx = ydy . 3 • Όταν x = 1 , τότε y = 13 + 8 = 9 = 3 . • Όταν x = 2 , τότε y =…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα