Άσκηση ολοκληρωμάτων 118

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 118 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 0 (x + 1)2 2 . Αν και το dx το βάζουμε δεξιά της υπό το ολοκλήρωμα συνάρτησης, εδώ βλέπεις ότι μπορεί να είναι και σε αριθμητή κλάσματος. Αντιμετωπίζοντας το dx σαν παράγοντα ενός «γινομένου», μπορούμε να το «κατεβάσουμε» δεξιά. 1 1 1 xdx 1 1 1 1 Ι= ∫0 2 (x + 1)2 = ⋅ 2 ∫ 0 2 (x + 1)2 ⋅ 2x dx = ⋅ 2 ∫ 0 2 (x + 1)2 ⋅ (x 2 + 1)′ dx = 1 β 1 1 Είναι (x + 1)′dx = d(x + 1) , ενώ το 2 β 2 ∫0 2 (x + 1)2 d(x 2 + 1) είναι της μορφής ∫ α y2 dy ⎡ 1⎤ και δίνει ⎢− ⎥ . ⎢ y⎥ ⎣ ⎦α - 173 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 1 1 0 1 1 1 ⎡⎢ 1 ⎤⎥ 1 ⎡⎢ 1 ⎤⎥ 1 ⎡⎢ 1 ⎤⎥ = ⋅ 2 ∫ 0 (x 2 + 1)2 d(x 2 + 1) = ⋅ − 2 ⎢⎣ x 2 + 1 ⎥⎦ 0 = − ⋅ 2 ⎢⎣ x 2 + 1 ⎥⎦ 0 = ⋅ 2 ⎢⎣ x 2 + 1 ⎥⎦ 1 = 1 ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟ 1 ⎛⎜ 1⎞ 1 1 1 = ⋅ ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ = ⋅ ⎜1 − ⎟⎟⎟ = ⋅ ⇒ Ι = . ⎟ 2 ⎝ 0 + 1 1 + 1⎠ 2 ⎝ ⎜ ⎟ 2⎠ 2 2 4 Δεύτερος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω x 2 + 1 = y . Τότε είναι 1 d(x 2 + 1) = d(y) ⇔ (x 2 + 1)′dx = (…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα