Άσκηση ολοκληρωμάτων 117

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 117 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎡ x2 ⎤ 1 ∫ x2 ∫ x2 ∫ x2 ∫ 2 Ι= xe dx = ⋅ e ⋅ 2x dx = ⋅ e ⋅ (x )′ dx = ⋅ 2 e x d(x 2 ) = ⋅ ⎢e ⎥ = 2 2 2 2 ⎣ ⎦0 0 0 0 0 1 12 e −1 = 2 ( ⋅ e − e0 ⇒ Ι =) 2 . 1 β β Είναι (x )′dx = d(x ) , ενώ το 2 2 ∫ 0 x2 2 e d(x ) είναι της μορφής ∫α e y dy και δίνει ⎡⎢ e y ⎤⎥ . ⎣ ⎦α - 172 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα 1 1 1 1 1 1 1 ′ 1 ⎡ x2 ⎤ 1 ∫ ∫ ∫ ∫( ) 2 2 2 2 Ι= xe x dx = ⋅ e x ⋅ 2x dx = ⋅ e x ⋅ (x 2 )′ dx = ⋅ ex dx = ⋅ ⎢e ⎥ = 2 2 2 2 ⎣ ⎦0 0 0 0 0 1 12 e −1 = 2 ( ⋅ e − e0 ⇒ Ι = 2 .) Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω x 2 = y . Τότε είναι 1 d(x 2 ) = d(y) ⇔ (x 2 )′dx = (y)′dy ⇔ 2xdx = dy ⇔ xdx = dy . 2 • Όταν x = 0 , τότε y = 02 = 0 . • Όταν x = 1 , τότε y = 12 = 1 . Άρα είναι 1 1 1 1 1 1 ⎡ y ⎤1 1 e −1 ∫ ∫ ∫ 2 Ι= e x ⋅ x dx = e y ⋅ dy = ⋅ e y dy = ⋅ ⎢e ⎥ = ⋅ (e1 − e0 ) ⇒ Ι = . 2 2 2 ⎣ ⎦0 2 2 0 0 0 1 xdx

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα