Άσκηση ολοκληρωμάτων 116

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 116 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫0 (x − 3x + 4)3 2 dx . 1 1 2x − 3 1 Ι= ∫ 0 (x − 3x + 4)3 2 dx = ∫ (x − 3x + 4) ⋅ (2x − 3) dx = 0 2 3 1 1 1 1 = ∫0 2 (x − 3x + 4)3 ⋅ (x 2 − 3x + 4)′ dx = ∫ 0 2 (x − 3x + 4)3 d(x 2 − 3x + 4) . Είναι (x 2 − 3x + 4)′dx = d(x 2 − 3x + 4) . Εδώ είναι καλό να γίνει η ακόλουθη αλλαγή μεταβλητής, διότι θα γίνει πιο εύκολα ο τελικός υπολογισμός του Ι. Θέτω x 2 − 3x + 4 = y . • Όταν x = 0 , τότε y = 02 − 3 ⋅ 0 + 4 = 4 . • Όταν x = 1 , τότε y = 12 − 3 ⋅1 + 4 = 2 . - 171 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Άρα είναι 2 2 2 2 4 1 ⎡ y−2 ⎤ ⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎛ ⎞ ⎥ = − ⋅ ⎢ ⎥ = ⋅ ⎢ ⎥ = 1 ⋅ ⎜⎜ 1 − 1 ⎟⎟ = 1 1 Ι= ∫ 4 y3 dy = ∫y 4 −3 dy = ⎢⎢ ⎥ ⎣⎢ −2 ⎦⎥ 4 2 ⎢⎣ y2 ⎥⎦ 4 2 ⎢⎣ y2 ⎥⎦ 2 2 ⎜⎝ 42 ⎟ 22 ⎟⎠ 1 ⎛⎜ 1 1 ⎞ 1 −3 3 = ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = ⋅ ⇒ Ι=− . 2 ⎝ 16 4 ⎟⎠ 2 16 32 Δεύτερος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής από την αρχή Θέτω x 2 − 3x + 4 = y . Τότε είναι d(x 2 − 3x + 4) = d(y) ⇔ (x 2 − 3x + 4)′dx =…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα