Άσκηση ολοκληρωμάτων 115

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 115 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫0 x 3 + 3x + 2 dx . 1 x2 + 1 1 1 Ι= ∫ 0 3 x + 3x + 2 dx = ⋅ 3 ∫ 3 x + 3x + 2 ⋅ 3(x 2 + 1) dx = 1 1 1 1 1 1 = ⋅ 3 ∫ 0 3 x + 3x + 2 ⋅ (3x 2 + 3) dx = ⋅ 3 ∫ x + 3x + 2 ⋅ (x + 3x + 2)′ dx = 0 3 3 Είναι (x 3 + 3x + 2)′dx = d(x 3 + 3x + 2) , άρα 1 1 1 1 ⎡ 1 = ⋅ 3 ∫ 0 x 3 + 3x + 2 d(x 3 + 3x + 2) = ⋅ 3 ⎢⎣ ℓn x 3 + 3x + 2 ⎤ = ⎥⎦ 0 1 β 1 1 β Το ∫0 3 x + 3x + 2 d(x 3 + 3x + 2) είναι της μορφής ∫ α y dy και δίνει ⎡⎢ ℓn y ⎤⎥ . ⎣ ⎦α 1 1 1 6 1 = 3 ( ) ⋅ ℓn 13 + 3 ⋅1 + 2 − ℓn 03 + 3 ⋅ 0 + 2 = ⋅ (ℓn6 − ℓn2) = ⋅ ℓn ⇒ Ι = ℓn3 . 3 3 2 3 Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα 1 x2 + 1 1 1 Ι= ∫ 0 3 x + 3x + 2 dx = ⋅ 3 ∫ x + 3x + 2 ⋅ 3(x + 1) dx = 3 2 1 1 1 1 1 1 = ⋅ 3 ∫ 0 3 x + 3x + 2 ⋅ (3x 2 + 3) dx = ⋅ 3 ∫ 0 3 x + 3x + 2 ⋅ (x 3 + 3x + 2)′ dx = 1 1 ′ 1 ( ℓn x + 3x + 2 ) dx = ⋅ ⎡⎢ ℓn x + 3x + 2 ⎤⎥ = 1 = ⋅ 3 ∫ 0 3 3 ⎣ ⎦ 3 0 1 1 1 6 = 3 ( ⋅ ℓn 13 + 3 ⋅1 + 2 − ℓn 03 + 3 ⋅ 0 + 2 = 3 ⋅ (ℓn6 − ℓn2) = ) 3 ⋅ ℓn 2 ⇒ 1 ⇒ Ι= ℓn3 . 3 - 170 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα