Άσκηση ολοκληρωμάτων 114

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 114 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 2x(x + 1) dx . 0 2 2 1 1 1 1 ⎡ (x 2 + 1)3 ⎤ Ι= 0 ∫ 2 2x(x + 1) dx = 0 ∫ (x + 1) ⋅ (x + 1)′ dx = 2 0 2 (x + 1) d(x + 1) = ⎢⎢ 2 2 ⎢⎣ 3 ⎥ = ⎥ ⎥⎦ 0 ∫ 2 2 2 1 ⎡ 2 1 = ⋅ ⎢(x + 1)3 ⎤⎥ = 3 ⎣ ⎦0 1 β Είναι (x 2 + 1)′dx = d(x 2 + 1) , ενώ το β ∫ (x + 1) d(x + 1) είναι της μορφής ∫ y dy 0 2 2 2 α 2 ⎡ y3 ⎤ και δίνει ⎢⎢ ⎥ . ⎥ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ α 1 ⎡ 2 1 7 = ⋅ ⎢(1 + 1)3 − (02 + 1)3 ⎤⎥ = ⋅ 7 ⇒ Ι = . 3 ⎣ ⎦ 3 3 Δεύτερος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω x 2 + 1 = y . Τότε είναι d(x 2 + 1) = d(y) ⇔ (x 2 + 1)′dx = (y)′dy ⇔ 2xdx = dy . • Όταν x = 0 , τότε y = 02 + 1 = 1 . • Όταν x = 1 , τότε y = 12 + 1 = 2 . Άρα είναι 1 2 2 ⎡ y3 ⎤ 3 3 ⎥ = 2 − 1 ⇒ Ι= 7 Ι= 0 ∫ 2 (x + 1) ⋅ 2x dx = 1 y dy = ⎢⎢ 2 ⎥ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ 1 ∫ 3 3 3 2 . - 169 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 x2 + 1

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα