Άσκηση ολοκληρωμάτων 113

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 113 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x dx . 1 e e e e e ℓnx 1 ⎡ (ℓnx)2 ⎤ Ι= ∫1 x dx = ∫ 1 ℓnx ⋅ dx = x ∫1 ℓnx ⋅ (ℓnx)′ dx = 1 ∫ ℓnx d(ℓnx) = ⎢⎢ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 1 ⎥ = ⎥ e β Είναι (ℓnx)′dx = d(ℓnx) , ενώ το ∫ ℓnx d(ℓnx) είναι της μορφής ∫ y dy και δίνει 1 α β ⎡ y2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ . ⎣⎢ ⎦⎥ α 1 ⎡ e 1 1 = ⋅ ⎢(ℓnx)2 ⎤⎥ = ⋅ ⎡⎢(ℓne)2 − (ℓn1)2 ⎤⎥ ⇒ Ι = . 2 ⎣ ⎦1 2 ⎣ ⎦ 2 Δεύτερος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω ℓnx = y . Τότε είναι x = e y και d(x) = d(e y ) ⇔ (x)′dx = (e y )′dy ⇔ dx = e ydy . • Όταν x = 1 , τότε y = ℓn1 = 0 . • Όταν x = e , τότε y = ℓne = 1 . Άρα είναι 1 1 1 y ⎡ y2 ⎤ 2 2 ⎥ = 1 − 0 ⇒ Ι= 1 Ι= ∫ e 0 y y ⋅ e dy = 0 ∫ y dy = ⎢⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 0 2 2 2 . - 168 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα