Άσκηση ολοκληρωμάτων 111

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 111 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 2συν x dx . 0 2 π/4 π/4 π/4 π/4 2 + ηµ2x ⎛ 1 ηµ2x ⎞⎟ 1 2ηµx ⋅ συνx Ι= ∫0 2συν2x dx = ∫0 ⎜⎜ ⎜⎝ συν2x + ⎟⎟ dx = 2συν2x ⎠⎟ ∫ 0 συν2x dx + ∫ 0 2συν 2 x dx = π/4 π/4 π/4 1 π 1 1 ∫ ∫ ∫ π/4 = ⎡⎢ εϕx ⎤⎥ + ⋅ ηµx dx = εϕ − εϕ0 − ⋅ (−ηµx) dx = 1 − ⋅ (συνx)′ dx = ⎣ ⎦0 συνx 4 συνx συνx 0 0 0 Είναι (συνx)′dx = d(συνx) , άρα π/4 1 ⎛ π ⎞⎟ ⎛ 2 ⎞⎟ π/4 ⎜ d(συνx) = 1 − ⎡⎢ ℓn συνx ⎤⎥ = 1 − ⎜⎜⎜ ℓn συν − ℓn συν0 ⎟⎟ = 1 − ⎜⎜ℓn = 1− ∫0 συνx ⎣ ⎦0 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎜⎝ 2 − ℓn1⎟⎟⎟ = ⎟⎠ π/4 β 1 1 β Το ∫ 0 συνx d(συνx) είναι της μορφής ∫ α y dy και δίνει ⎡⎢ ℓn y ⎤⎥ . ⎣ ⎦α = 1 − ℓn 2 2 = 1 − ℓn 2 2 = 1 − ℓn 1 2 ( ) = 1 − ℓn1 − ℓn 2 = 1 + ℓn 2 ⇒ Ι = 1 + 1 2 ℓn2 . 2 Σχόλιο π/4 1 Το ∫ συνx ⋅ ηµx dx υπολογίζεται και έτσι: 0 π/4 π/4 π/4 π/4 1 1 1 ′ ∫0 συνx ⋅ ηµx dx = − ∫ 0 συνx ⋅ (−ηµx) dx = − ∫0 συνx (συνx)′ dx = − ∫ ( ℓn συνx ) dx = 0 π/4 = − ⎡⎢ ℓn συνx ⎤⎥ = ... ⎣ ⎦0 - 166 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµ…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα