Άσκηση ολοκληρωμάτων 108

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 108 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ συν(πx) dx . 0 1 1 1 1 1 Ι= ∫0 συν(πx) dx = ⋅ π ∫0 συν(πx) ⋅ π dx = ⋅ π ∫ συν(πx) ⋅ (πx)′ dx = 0 Είναι (πx)′dx = d(πx) , άρα 1 1 1 ⎡ 1 ∫ 1 = ⋅ συν(πx) d(πx) = ⋅ ⎢ηµ(πx)⎤⎥ = ⋅ (ηµπ − ηµ0) ⇒ Ι = 0 . π π ⎣ ⎦0 π 0 1 β ∫ ∫ β Το συν(πx) d(πx) είναι της μορφής συνy dy και δίνει ⎡⎢ηµy ⎤⎥ . ⎣ ⎦α 0 α Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα 1 1 1 1 1 Ι= ∫0 συν(πx) dx = ⋅ π ∫0 συν(πx) ⋅ π dx = ⋅ π ∫ συν(πx) ⋅ (πx)′ dx = 0 1 1 ⎡ηµ(πx)⎤ ′ dx = 1 ⋅ ⎡ηµ(πx)⎤ = 1 ⋅ (ηµπ − ηµ0) ⇒ Ι = 0 . ∫ 1 = ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥ π π ⎣ ⎦0 π 0 - 160 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω πx = y . 1 Τότε είναι x = ⋅ y και π ⎛1 ⎞⎟ ⎛1 ⎞⎟′ 1 ⎜ ′ ⎜ d(x) = d ⎜⎜ ⋅ y⎟ ⇔ (x) dx = ⎜⎜ ⋅ y⎟⎟ dy ⇔ dx = ⎟ dy . ⎝π ⎠ ⎟ ⎝π ⎠ ⎟ π • Όταν x = 0 , τότε y = π ⋅ 0 = 0 . • Όταν x = 1 , τότε y = π ⋅1 = π . Άρα είναι π π 1 1 1 ⎡ 1 ∫ ∫ π Ι= συνy ⋅ dy = ⋅ συνy dy = ⋅ ⎢ηµy ⎤⎥ = ⋅ (ηµπ − η…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα