Άσκηση ολοκληρωμάτων 107

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 107 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 2 x + x + 1 dx . 0 2 1 1 2x + 1 1 Ι= ∫ 2 x + x +1 0 2 dx = ∫ 2 x + x + 1 ⋅ (2x + 1) dx = 0 2 1 1 1 1 1 ⎡ ⎤ = ∫ 2 x + x +1 0 2 ⋅ (x 2 + x + 1)′ dx = ∫0 2 x2 + x + 1 d(x 2 + x + 1) = ⎢ x 2 + x + 1 ⎥ = ⎣ ⎦0 = 12 + 1 + 1 − 02 + 0 + 1 ⇒ Ι = 3 − 1 . Είναι (x 2 + x + 1)′dx = d(x 2 + x + 1) . 1 β 1 1 β dy και δίνει ⎡⎢ y ⎤⎥ . Το ∫ 2 x + x +1 0 2 2 d(x + x + 1) είναι της μορφής ∫α 2 y ⎣ ⎦α Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα 1 1 2x + 1 1 Ι= ∫ 2 x + x + 1 dx = ∫ 2 x + x + 1 ⋅ (2x + 1) dx = 0 2 0 2 1 1 ′ ∫( ) 1 1 ⎡ ⎤ = ∫ 2 x + x +1 0 2 ⋅ (x 2 + x + 1)′ dx = 0 x 2 + x + 1 dx = ⎢ x 2 + x + 1 ⎥ = ⎣ ⎦0 = 12 + 1 + 1 − 02 + 0 + 1 ⇒ Ι = 3 − 1 . Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω x 2 + x + 1 = y . Τότε είναι d(x 2 + x + 1) = d(y) ⇔ (x 2 + x + 1)′dx = (y)′dy ⇔ (2x + 1)dx = dy . • Όταν x = 0 , τότε y = 02 + 0 + 1 = 1 . - 159 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα • Ότα…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα