Άσκηση ολοκληρωμάτων 106

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 106 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ συν x ⋅ e dx . 0 2 εϕx π/4 π/4 π/4 π 1 π/4 ∫ ∫ e ⋅ (εϕx)′ dx = ∫ εϕ Ι= ⋅ e εϕx dx = εϕx e d(εϕx) = ⎡⎢ e εϕx ⎤⎥ = e 4 − e εϕ0 = εϕx συν2x ⎣ ⎦0 0 0 0 = e1 − e 0 ⇒ Ι = e − 1 . π/4 β Είναι (εϕx)′dx = d(εϕx) , ενώ, το ∫ e d(εϕx) είναι της μορφής ∫ e dy και δίνει 0 εϕx α y β ⎡ey ⎤ . ⎣⎢ ⎦⎥ α Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα π/4 π/4 π/4 π 1 π/4 ∫ ∫ e ⋅ (εϕx)′ dx = ∫ (e εϕ Ι= ⋅ e εϕx dx = εϕx εϕx )′ dx = ⎡⎢ e εϕx ⎤⎥ = e 4 − e εϕ0 = 2 συν x ⎣ ⎦0 0 0 0 = e1 − e 0 ⇒ Ι = e − 1 . Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω εϕx = y . Τότε είναι 1 d(εϕx) = d(y) ⇔ (εϕx)′dx = (y)′dy ⇔ dx = dy . συν2x • Όταν x = 0 , τότε y = εϕ0 = 0 . π π • Όταν x = , τότε y = εϕ =1. 4 4 Άρα είναι π/4 1 1 1 Ι= ∫ 0 e εϕx ⋅ συν2x dx = ∫ 0 e y dy = ⎡⎢ e y ⎤⎥ = e1 − e0 ⇒ Ι = e − 1 . ⎣ ⎦0 - 158 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 2x + 1

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα