Άσκηση ολοκληρωμάτων 105

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 105 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ π/2 2ηµx + 5 dx . π π π 2συνx 1 1 Ι= ∫ π/2 2ηµx + 5 dx = ∫ π/2 2ηµx + 5 ⋅ 2συνx dx = ∫ π/2 2ηµx + 5 ⋅ (2ηµx + 5)′ dx = Είναι (2ηµx + 5)′dx = d(2ηµx + 5) , άρα π 1 π π = ∫ π/2 2ηµx + 5 d(2ηµx + 5) = ⎡⎢ ℓn 2ηµx + 5 ⎤⎥ = ℓn 2ηµπ + 5 − ℓn 2ηµ + 5 = ℓn5 − ℓn7 ⇒ ⎣ ⎦ π/2 2 5 ⇒ Ι = ℓn . 7 - 156 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα π β 1 1 β Το ∫ π/2 2ηµx + 5 d(2ηµx + 5) είναι της μορφής ∫ α y dy και δίνει ⎡⎢ ℓn y ⎤⎥ . ⎣ ⎦α Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα π π π 2συνx 1 1 Ι= ∫ π/2 2ηµx + 5 dx = ∫π/2 2ηµx + 5 ⋅ 2συνx dx = ∫ 2ηµx + 5 ⋅ (2ηµx + 5)′ dx = π/2 π ′ π ∫ ( ℓn 2ηµx + 5 ) dx = ⎡⎣⎢ ℓn 2ηµx + 5 ⎤⎦⎥ π = = ℓn 2ηµπ + 5 − ℓn 2ηµ + 5 = ℓn5 − ℓn7 ⇒ π/2 2 π/2 5 ⇒ Ι = ℓn . 7 Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω 2ηµx + 5 = y . Τότε είναι d(2ηµx + 5) = d(y) ⇔ (2ηµx + 5)′dx = (y)′dy ⇔ 2συνxdx = dy . π π • Όταν x = , τότε y = 2ηµ + 5 = 2 ⋅1 + 5 = 7 . 2 2 • Όταν…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα