Άσκηση ολοκληρωμάτων 104

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 104 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 2x ℓnx dx . 1 e e e 1 1 1 1 Ι= ∫ 2x ℓnx 1 dx = ∫1 ⋅ dx = 2 ℓnx x ∫ 2 ℓnx ⋅ (ℓnx)′ dx = 1 Είναι (ℓnx)′dx = d(ℓnx) , άρα e 1 e d(ℓnx) = ⎡⎢ ℓnx ⎤⎥ = ℓne − ℓn1 ⇒ Ι = 1 . = ∫1 2 ℓnx ⎣ ⎦1 e β ∫ 1 1 β dy και δίνει ⎡⎢ y ⎤⎥ . Το 2 ℓnx d(ℓnx) είναι της μορφής ∫α 2 y ⎣ ⎦α 1 - 155 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα e e e e ′ ∫ ( ℓnx ) dx = ⎢⎣ ℓnx ⎥⎦ = 1 11 1 ⎡ e ⎤ Ι= ∫ 2x ℓnx 1 dx = ∫ 1 ⋅ dx = 2 ℓnx x ∫ 2 ℓnx 1 ⋅ (ℓnx)′ dx = 1 1 = ℓne − ℓn1 ⇒ Ι = 1 . Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω ℓnx = y . 2 Τότε είναι ℓnx = y2 ⇔ x = e y και 2 2 2 2 d(x) = d(e y ) ⇔ (x)′dx = (e y )′dy ⇔ dx = e y ⋅ (y2 )′dy ⇔ dx = 2ye y dy . • Όταν x = 1 , τότε y = ℓn1 = 0 . • Όταν x = e , τότε y = ℓne = 1 = 1 . Άρα είναι 1 1 1 Ι= ∫ 2ye 0 y2 ⋅ 2ye y2 dy = ∫ 1dy = 1 ⋅ (1 − 0) ⇒ Ι = 1 . 0 π 2συνx

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα