Άσκηση ολοκληρωμάτων 103

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 103 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 0 x2 + 9 dx . 4 4 4 x 1 1 Ι= ∫ x + 9 dx = ∫ 2 x + 9 ⋅ 2x dx = ∫ 2 x + 9 ⋅ (x + 9)′ dx = 0 2 0 2 0 2 2 Είναι (x 2 + 9)′dx = d(x 2 + 9) , άρα 4 4 1 ⎡ ⎤ = ∫0 2 2 x +9 d(x 2 + 9) = ⎢ x 2 + 9 ⎥ = 42 + 9 − 02 + 9 ⇒ Ι = 2 . ⎣ ⎦0 4 β ∫ 1 1 β dy και δίνει ⎡⎢ y ⎤⎥ . Το 2 x2 + 9 d(x 2 + 9) είναι της μορφής ∫ α 2 y ⎣ ⎦α 0 Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα 4 4 4 4 ′ ∫ ( x + 9 ) dx = x 1 1 Ι= ∫ x +9 0 2 dx = ∫ 2 x +9 0 2 ⋅ 2x dx = ∫ 2 x +9 0 2 ⋅ (x 2 + 9)′ dx = 0 2 - 154 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 4 ⎡ ⎤ = ⎢ x 2 + 9 ⎥ = 42 + 9 − 02 + 9 ⇒ Ι = 2 . ⎣ ⎦0 Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω x 2 + 9 = y . Τότε είναι 1 d(x 2 + 9) = d(y) ⇔ (x 2 + 9)′dx = (y)′dy ⇔ 2xdx = dy ⇔ xdx = dy . 2 • Όταν x = 0 , τότε y = 02 + 9 = 9 . • Όταν x = 4 , τότε y = 42 + 9 = 25 . Άρα είναι 4 4 25 25 x 1 1 1 1 25 dy = ⎡⎢ y ⎤⎥ = Ι= ∫ 0 x2 + 9 dx = ∫ 0 x2 + 9 ⋅ x dx = ∫ 9 ⋅ dy =…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα