Άσκηση ολοκληρωμάτων 102

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 102 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ (x + x + 1)(2x + 1) dx . 0 2 1 1 Ι= ∫ (x + x + 1)(2x + 1) dx = ∫ (x + x + 1) ⋅ (x + x + 1)′ dx = 0 2 0 2 2 Είναι (x 2 + x + 1)′dx = d(x 2 + x + 1) , άρα 1 1 ⎡ (x 2 + x + 1)2 ⎤ ⎥ = 1 ⋅ ⎡(x 2 + x + 1)2 ⎤ = 1 ⋅ (9 − 1) ⇒ 1 = ∫ 0 (x 2 + x + 1) d(x 2 + x + 1) = ⎢⎢ ⎢⎣ 2 ⎥ ⎥⎦ 0 2 ⎢⎣ ⎥⎦ 0 2 ⇒ Ι=4 . 1 β β ⎡ y2 ⎤ Το ∫ 0 2 2 (x + x + 1) d(x + x + 1) είναι της μορφής α y dy και δίνει ⎢⎢ ⎢⎣ 2 ∫ ⎥ . ⎥ ⎥⎦ α - 152 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα 1 1 Ι= ∫ (x + x + 1)(2x + 1) dx = ∫ (2x + x + 2x + x + 2x + 1) dx = 0 2 0 3 2 2 1 1 1 ⎡ 2x 4 3x 2 ⎤ ⎡ x4 3x 2 ⎤ = 0 ∫ (2x + 3x + 3x + 1) dx = ⎢⎢ 3 2 ⎢⎣ 4 + x3 + 2 + x ⎥⎥ = ⎢⎢ + x 3 + ⎥⎦ 0 ⎢⎣ 2 2 + x ⎥⎥ = ⎥⎦ 0 4 2 1 x 3x = ⎡⎢ f(x)⎤⎥ = f(1) − f(0) , όπου f(x) = + x3 + +x. ⎣ ⎦0 2 2 14 3 ⋅12 1 3 • f(1) = + 13 + +1 = +1+ +1 = 4 . 2 2 2 2 • f(0) = 0 (προκύπτει πολύ εύκολα). Τελικά είναι Ι =…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα