Άσκηση ολοκληρωμάτων 101

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 101 από «Ε2(Θ4)+Κ5(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 3(ηµx + 2) συνx dx . 0 2 π/2 π/2 π/2 Ι= ∫ 3(ηµx + 2) συνx dx = ∫ 3(ηµx + 2) ⋅ (ηµx + 2)′ dx = ∫ 3(ηµx + 2) d(ηµx + 2) = 0 2 0 2 0 2 Είναι (ηµx + 2)′dx = d(ηµx + 2) , άρα 3 ⎛ π ⎞ = ⎜⎜⎜ηµ + 2⎟⎟⎟ − (ηµ0 + 2)3 = (1 + 2)3 − 23 ⇒ Ι = 19 . π/2 = ⎡⎢(ηµx + 2) ⎤⎥ 3 ⎣ ⎦0 ⎝ 2 ⎟⎠ π/2 β ∫ β Το 2 3(ηµx + 2) d(ηµx + 2) είναι της μορφής ∫α 3y2 dy και δίνει ⎡⎢ y3 ⎤⎥ . ⎣ ⎦α 0 Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα π/2 π/2 π/2 ′ Ι= ∫ 3(ηµx + 2) συνx dx = ∫ 3(ηµx + 2) ⋅ (ηµx + 2)′ dx = ∫ ⎡⎣⎢(ηµx + 2) ⎤⎦⎥ dx = 0 2 0 2 0 3 3 ⎛ π ⎞ + 2⎟⎟⎟ − (ηµ0 + 2)3 = (1 + 2)3 − 23 ⇒ Ι = 19 . π/2 = ⎡⎢(ηµx + 2) ⎤⎥ 3 = ⎜⎜⎜ηµ ⎣ ⎦0 ⎝ 2 ⎟⎠ Υπενθυμίζεται ότι «απλό» είναι ένα ολοκλήρωμα όταν μπορεί να βρεθεί μία αρχική συνάρτηση χωρίς την ανάπτυξη ιδιαίτερης τεχνικής/μεθοδολογίας από τα ολοκληρώμα- τα, δηλαδή όταν μία αρχική μπορεί να βρεθεί με βασική αντιπαραγώγιση. Τρίτος τρόπος Με αλλαγή μεταβλητής Θέτω ηµx + 2 = y . Τότε είναι d(ηµx + 2) = d(y) ⇔ (ηµx + 2)′dx = (y)′dy ⇔ συνx dx = dy . • Όταν x = 0 , τότε y = ηµ0 + 2 = 2 . - 151 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, κ…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα