Άσκηση ολοκληρωμάτων 99

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 99 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ e ηµ2x dx . 0 2x Θέτω 2x = y . Τότε είναι y ⎛ y ⎞⎟′ 1 x= ⇔ dx = ⎜⎜⎜ ⎟⎟ dy ⇔ dx = dy . 2 ⎝2⎠ ⎟ 2 Όταν x = 0 , τότε y = 2 ⋅ 0 = 0 . π π Όταν x = , τότε y = 2 ⋅ =π. 2 2 Άρα είναι π π 1 1 1 Ι= ∫ 0 y e ηµy ⋅ dy = 2 2 ⋅ ∫ 0 e yηµy dy ⇒ Ι = ⋅Ι 2 1 (1) Είναι π π π π Ι1 = ∫ e ηµy dy = ∫ (e )′ ⋅ ηµy dy = ⎡⎣⎢e ηµy⎤⎦⎥ − ∫ e ⋅ (ηµy)′ dy = 0 y 0 y y 0 0 y π π 0 0 π = e ⋅ ηµπ − e ⋅ ηµ0 − 0 ∫ e συνy dy = −∫ e συνy dy = ∫ e συνy dy = ∫ (e )′ ⋅ συνy dy = 0 y 0 y π y π y 0 0 0 = ⎡⎢ e συνy ⎤⎥ − ⎣ y ⎦π ∫ e ⋅ (συνy)′ dy = e ⋅ συν0 − e ⋅ συνπ − ∫ e ⋅ (−ηµy) dy = π y 0 π π y 0 π π = 1 − e ⋅ (−1) + ∫ e ηµy dy = 1 + e − ∫ e ηµy dy ⇒ Ι = 1 + e − Ι . π y π 0 y 1 π Τότε από την (1) έχω ότι 1 1 + eπ Ι= ⋅ (1 + eπ − Ι) ⇔ 2 ⋅ Ι = 1 + eπ − Ι ⇔ 3 ⋅ Ι = 1 + eπ ⇔ Ι = . 2 3 - 136 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 e3x

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα