Άσκηση ολοκληρωμάτων 93

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 93 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x ηµ x dx . 0 Θέτω x = y . Τότε είναι x = y2 ⇔ dx = (y2 )′dy ⇔ dx = 2ydy . Όταν x = 0 , τότε y = 0 = 0 . π2 π2 π Όταν x = , τότε y = = . 4 4 2 Άρα είναι π/2 π/2 Ι= ∫ y ⋅ ηµy ⋅ 2y dy = 2 ⋅ ∫ y ηµy dy ⇒ Ι = 2 ⋅ Ι 0 0 2 1 (1) Είναι π/2 π/2 π/2 π/2 Ι1 = ∫ y ηµy dy = ∫ (−συνy)′ ⋅ y dy = ⎡⎣⎢−y συνy⎤⎦⎥ − ∫ (−συνy) ⋅ (y )′ dy = 0 2 0 2 2 0 0 2 π/2 2 π/2 ⎛π⎞ π 2y ⋅ συνy dy = 02 ⋅ συν0 − ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ συν + 2 ⋅ 0 = ⎡⎢ y2συνy ⎤⎥ + ⎣ ⎦ π/2 ∫ 0 ⎝ 2 ⎟⎠ 2 ∫ y συνy dy ⇒ 0 ⇒ Ι1 = 2 ⋅ Ι 2 (2) Είναι π/2 π/2 π/2 ∫ y συνy dy = ∫ (ηµy)′ ⋅ y dy = ⎡⎣⎢ y ηµy⎤⎦⎥ − ∫ ηµy ⋅ (y)′ dy = π/2 Ι2 = 0 0 0 0 π/2 π π π ⎡ π π π ∫ π/2 = ⋅ ηµ − 0 ⋅ ηµ0 + (−ηµy) dy = + ⎢συνy ⎤⎥ = + συν − συν0 ⇒ Ι2 = − 1 . 2 2 2 ⎣ ⎦0 2 2 2 0 Τότε από την (2) έχω ⎛π ⎞ Ι1 = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ − 1⎟⎟⎟ ⇔ Ι1 = π − 2 . ⎝2 ⎠⎟ Τελικά από την (1) έχω Ι = 2(π − 2) = 2π − 4 . - 132 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 9 dx

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα