Άσκηση ολοκληρωμάτων 89

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 89 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 1 + x + 1 dx . 0 Θέτω x + 1 = y . Τότε είναι x + 1 = y2 ⇔ x = y2 − 1 ⇔ dx = (y2 − 1)′dy ⇔ dx = 2ydy . Όταν x = 0 , τότε y = 0 + 1 = 1 . Όταν x = 3 , τότε y = 3 + 1 = 2 . Πρόσεξε πολύ τον τρόπο υπολογισμού του Ι ! Το ίδιο ολοκλήρωμα συναντήθηκε και σε προηγούμενη κατηγορία ασκήσεων. Άρα είναι 2 2 2 2 1 y y + 1−1 ⎛ ⎞ ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟ dy = Ι= ∫ 1 1+ y ⋅ 2y dy = 2 ⋅ ∫ 1 y +1 dy = 2 ⋅ ∫ 1 y +1 dy = 2 ⋅ ∫ 1 ⎜⎝ ⎟ y + 1⎟⎠ 2 2 2 1 1 = 2⋅ ∫ 1dy − 2 ⋅ ∫ 1 1 y +1 dy = 2 ⋅1 ⋅ (2 − 1) − 2 ⋅ ∫ y + 1 ⋅ (y + 1)′ dy = 1 2 ⎡ ℓn(y + 1)⎤ ′ dy = 2 − 2 ⋅ ⎡ ℓn(y + 1)⎤ = 2 − 2 ⋅ ⎡ ℓn(2 + 1) − ℓn(1 + 1)⎤ = ∫ 2 = 2−2⋅ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 1 ⎢⎣ ⎥⎦ 1 3 = 2 − 2 ⋅ (ℓn3 − ℓn2) ⇒ Ι = 2 − 2ℓn . 2 - 128 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 3

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα