Άσκηση ολοκληρωμάτων 82

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 82 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ (x + 1) dx . 0 3 Θέτω x + 1 = y . Τότε είναι x = y − 1 ⇔ dx = (y − 1)′dy ⇔ dx = dy . Όταν x = 0 , τότε y = 0 + 1 = 1 . Όταν x = 1 , τότε y = 1 + 1 = 2 . Άρα είναι 2 2 ⎡ y4 ⎤ 24 14 16 1 15 Ι= 1 ∫ ⎢ y dy = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎣ ⎥3 4 ⎦⎥ 1 4 − 4 = 4 − ⇒ Ι= 4 4 . Δεύτερος τρόπος 1 1 1 ⎡ x4 3x 2 ⎤ ∫ ∫ 1 Ι= (x + 1) dx = (x + 3x + 3x + 1) dx = ⎢⎢ 3 3 2 + x3 + + x ⎥⎥ = ⎡⎢ f(x)⎤⎥ ⇒ ⎣ ⎦0 0 0 ⎢⎣ 4 2 ⎥⎦ 0 x4 3x 2 ⇒ Ι = f(1) − f(0) , όπου f(x) = + x3 + +x. 4 2 14 3 ⋅12 1 3 1+6+8 15 • f(1) = + 13 + +1 = + +2= = . 4 2 4 2 4 4 04 3 ⋅ 02 • f(0) = + 03 + +0= 0. 4 2 - 123 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Τελικά είναι 15 15 Ι= −0 ⇔ Ι = . 4 4 Ο δεύτερος τρόπος, αν και έχει περισσότερες πράξεις, είναι εφικτός εδώ, διότι η δύνα- μη είναι τρίτη. Αν ήταν μεγαλύτερη όμως; Να πού εξυπηρετεί η μέθοδος της αλλαγής μεταβλητής. 2

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα