Άσκηση ολοκληρωμάτων 81

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 81 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 0 ex dx . Θέτω e x = y . Τότε είναι 1 x = ℓny ⇔ dx = (ℓny)′dy ⇔ dx = dy . y Όταν x = 0 , τότε y = e0 = 1 . Όταν x = 1 , τότε y = e1 = e . Άρα είναι e e e e 1 − ℓny 1 1 − ℓny ⎛1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎜⎜ − 1 ⋅ ℓny⎟⎟ dy = ⎜⎜ ⋅ − 1 ⋅ ℓny⎟⎟ dy = Ι= ∫ 1 y ⋅ dy = y ∫ 1 y2 dy = ∫ 1 ⎜⎜⎝ y2 y2 ⎟⎟ ⎠ ∫ 1 ⎜⎜⎝ y y y2 ⎟⎟ ⎠ ⎡ ⎤ ⎛ 1 ⎞⎟′ ⎥ ⎞′ e e e ⎢ 1 ⎛1 ⎡ ⎤ ⎜⎜ ⋅ ℓny⎟⎟ dy = ⎢ ℓny ⎥ = ℓne − ℓn1 ⇒ Ι = 1 = e−1 . = ∫ ⎜ ⎢(ℓny)′ ⋅ + ℓny ⋅ ⎜ ⎟⎟ ⎥ dy = ⎢ 1 ⎢⎣ y ⎜⎝ y ⎟⎠ ⎥ ⎥⎦ ∫ 1 ⎜⎝ y ⎟⎟ ⎠ ⎢ y ⎥ ⎣ ⎦1 e 1 e - 122 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Δεύτερος τρόπος ⎛ x ⎞⎟′ 1 1 1 1 1 1− x e x (1 − x) e x − xe x (x)′ ⋅ e x − x ⋅ (e x )′ Ι= ∫ 0 ex dx = ∫0 ex ⋅ ex dx = ∫ 0 (e x )2 dx = ∫0 (e x )2 dx = ∫ 0 ⎜⎜ ⎟ dx = ⎜⎝ e x ⎟⎟⎠ 1 ⎡x⎤ 1 0 1 = ⎢ x⎥ = 1 − 0 ⇒ Ι = . ⎢e ⎥ e e e ⎣ ⎦0 Αν και ο δεύτερος τρόπος ήθελε περισσότερη φαντασία (το παραδέχομαι ότι το να πολλαπλασιάσω τον αριθμητή και τον παρονομαστ…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα