Άσκηση ολοκληρωμάτων 79

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 79 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ ℓn x dx . e 2 Θέτω ℓnx = y . Τότε είναι x = e y ⇔ dx = (e y )′dy ⇔ dx = e ydy . Όταν x = e , τότε y = ℓne = 1 . Όταν x = e2 , τότε y = ℓne2 = 2 . Άρα είναι ⎛ e y ⎞⎟′ 2 2 2 2 y −1 y ye y − e y (e y )′ ⋅ y − e y ⋅ (y)′ Ι= ∫ 1 y2 ⋅ e dy = ∫ 1 y2 dy = ∫ 1 y2 dy = ∫ 1 ⎜⎜ ⎟ dy = ⎜⎜ y ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎡ ey ⎤ e2 e1 e2 − 2e = ⎢⎢ ⎥⎥ = − ⇒ Ι= . ⎢⎣ y ⎥⎦ 1 2 1 2 Η αντικατάσταση που έγινε ήταν αναμενόμενη θα έλεγα. Το ίδιο έγινε και σε υπολο- γισμό ορίου, αλλά και πολύ νωρίτερα: σε επίλυση εξίσωσης ή ανίσωσης η οποία είχε μόνο λογάριθμο. Ως φαινόμενο, η επανάληψη ενός x 2 ή ενός ηµx ή ενός ℓnx κ.τ.ό., αποτελεί ισχυρή ένδειξη για χρήση της μεθόδου της αλλαγής μεταβλητής, είτε πρόκει- ται για επίλυση εξίσωσης ή ανίσωσης είτε για υπολογισμό ορίου ή ολοκληρώματος. - 121 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα e 2x ℓnx − x

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα