Άσκηση ολοκληρωμάτων 77

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 77 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x + 1 dx . 0 Θέτω x = y . Τότε είναι x = y2 ⇔ dx = (y2 )′dy ⇔ dx = 2ydy . Όταν x = 0 , τότε y = 0 = 0 . Όταν x = 1 , τότε y = 1 = 1 . Άρα είναι 1 1 1 1 y2 − 1 (y − 1) (y + 1) Ι= ∫ 0 y +1 ⋅ 2y dy = 2 ⋅ ∫ 0 y +1 ⋅ y dy = 2 ⋅ ∫ y(y − 1) dy = 2 ⋅ ∫ (y − y) dy = 0 0 2 1 ⎡ y3 y 2⎤ ⎡ 13 12 ⎛⎜ 03 02 ⎞⎟⎟ ⎤⎥ ⎛1 1⎞ 2−3 1 ⎢ = 2⋅⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ = 2⋅⎢ − − ⎜⎜ − ⎟ ⎥ = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = 2 ⋅ ⇒ Ι=− . 2 ⎝⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎣⎢ 3 2 ⎦⎥ 0 ⎣⎢ 3 2 ⎠ ⎦⎥ ⎝3 2⎠ 6 3 - 119 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Δεύτερος τρόπος 1 1 (x − 1)( x − 1) 1 (x − 1) ( x − 1) 1 ∫ ( x − 1) dx = x −1 Ι= ∫ 0 x +1 dx = ∫ ( x + 1)( x − 1) dx = ∫ 0 0 x −1 dx = 0 1 ⎡ 3 ⎤ 1 ⎛ 1 ⎞⎟ ⎢ 2 ⎥ ⎡2 3 ⎤ 1 ⎡2 ⎤ ⎡2 1 ⎤ 1 ⎜ ⎢ x ⎥ = 0 ∫ ⎜⎜x − 1⎟⎟ dx = ⎢ ⎝⎜ 2 ⎟⎠⎟ ⎢ 3 ⎢ ⎢ ⎥ − x⎥ = ⎢ ⋅ x − x⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣ 3 2 ⎢ ⎥⎦ 0 ⎣ 3 x − x⎥ = ⎢ x x − x⎥ = 3 ⎥ ⎢ ⎦0 ⎣ 3 ⎥ ⎦0 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 0 2 ⎛2 ⎞ 2 1 = ⋅1 ⋅ 1 − 1 − ⎜⎜⎜ ⋅ 0 ⋅ 0 − 0⎟⎟⎟ = −1 ⇒ Ι = − . 3 ⎝3 ⎠⎟ 3 3 Ά…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα