Άσκηση ολοκληρωμάτων 76

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 76 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 Θέτω x = y . Τότε είναι x = y2 ⇔ dx = (y2 )′dy ⇔ dx = 2ydy . Όταν x = 0 , τότε y = 0 = 0 . Όταν x = 1 , τότε y = 1 = 1 . Άρα είναι 1 1 1 Ι= ∫ (1 − y) ⋅ 2y dy = 2 ⋅ ∫ y(1 + y − 2y) dy = 2 ⋅ ∫ (y + y − 2y ) dy = 0 2 0 2 0 3 2 1 ⎡ y2 y4 2y3 ⎤⎥ 1 ⎢ = 2⋅⎢ + − = 2 ⋅ ⎡ f(y)⎤ ⇒ Ι = 2 ⋅ ⎡ f(1) − f(0)⎤ , 3 ⎥⎦⎥ 0 ⎣⎢ ⎦⎥ 0 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ 2 4 y2 y4 2y3 όπου f(y) = + − . 2 4 3 12 14 2 ⋅13 1 1 2 6 + 3−8 1 • f(1) = + − = + − = = . 2 4 3 2 4 3 12 12 02 04 2 ⋅ 03 • f(0) = + − =0. 2 4 3 Άρα είναι ⎛ 1 ⎞ 1 Ι = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ − 0⎟⎟⎟ ⇔ Ι = . ⎝ 12 ⎟ ⎠ 6 Δεύτερος τρόπος 1 1 1 1 ∫ (1 − x ) dx = ∫ (1 + x − 2 x ) dx = ∫ (1 + x) dx − 2 ⋅ ∫ x dx ⇒ 2 Ι= 0 0 0 0 ⇒ Ι = Ι1 − 2 ⋅ Ι 2 (1) - 118 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 1 ⎡ x 2 ⎤⎥ 12 ⎛ 02 ⎞⎟⎟ 3 • Ι1 = 0 ∫ ⎢ (1 + x) dx = ⎢ x + ⎣⎢ ⎥ 2 ⎦⎥ 0 = 1+ 2 ⎜ − ⎜⎜0 + ⎝⎜ 2 ⎠ ⎟⎟ ⇒ Ι1 = 2 . 1 ⎡ 3 ⎤ 1 1 1 ⎢ 2 ⎥ ⎡2 3 ⎤ 1 ⎢ x ⎥ 2 ⎡ 3 ⎤1 2 ⎡ 1 ⋅ ⎢ x x ⎤⎥ = •…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα