Άσκηση ολοκληρωμάτων 75

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 75 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x x dx . 0 Θέτω x = y . Τότε είναι x = y2 ⇔ dx = (y2 )′dy ⇔ dx = 2ydy . Όταν x = 0 , τότε y = 0 = 0 . Όταν x = 2 , τότε y = 2 . Άρα είναι 2 2 2 ⎡ y5 ⎤ 2 2 2 ⎛ 5 ⎞ 2 Ι= 0 ∫ 2 y ⋅ y ⋅ 2y dy = 2 ⋅ 0 ∫ y dy = 2 ⋅ ⎢⎢ ⎥⎥ = ⋅ ⎡⎢ y5 ⎤⎥ = ⋅ ⎜⎜ 2 − 05 ⎟⎟⎟ = ⋅ 4 2 ⇒ 4 ⎣⎢ 5 ⎦⎥ 0 5 ⎣ ⎦0 5 ⎜⎝ ⎠ 5 8 2 ⇒ Ι= . 5 Δεύτερος τρόπος 2 ⎡ 5 ⎤ 2 1 2 3 ⎢ 2 ⎥ 2 ⎡2 5 ⎤ 2 ⎢ x ⎥ 2 ⎡ 5 ⎤2 2 ⎡ 2 2 ⎤ = I= 0 ∫x x dx = 0 ∫ x ⋅ x dx = 2 0 x dx = ⎢ 2 ⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = ∫ ⎢ ⎢5 ⎢ ⎣ ⋅ x 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0 = ⋅ 5 ⎣ ⎢ x ⎥ ⎦0 = ⋅ 5 ⎣ ⎢ x x ⎥ ⎦0 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 0 = 2 5 ( ⋅ 22 ⋅ 2 − 02 ⋅ 0 = 2 5 ) ⋅4 2 ⇒ Ι = 8 2 5 . Όπως είδες, στον δεύτερο τρόπο το ολοκλήρωμα αντιμετωπίστηκε ως «απλό» και χρη- σιμοποιήθηκαν ιδιότητες των δυνάμεων. Ολοκληρώματα με x μπορούν να αντιμετω- πιστούν και έτσι, αλλά αυτό πάντα εξαρτάται από την μορφή της συνάρτησης που εί- ναι εντός του ολοκληρώματος. Στην προκειμένη περίπτωση, θα σύστηνα τον 1ο τρόπο (πιο ξεκούραστος). - 117 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα