Άσκηση ολοκληρωμάτων 100

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 100 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 0 2 + ex dx . Θέτω e x = y . Τότε είναι 1 x = ℓny ⇔ dx = (ℓny)′dy ⇔ dx = dy . y Όταν x = 0 , τότε y = e0 = 1 . Όταν x = 1 , τότε y = e1 = e . Άρα είναι e e e e y3 1 y2 y2 − 4 + 4 ⎛ y2 − 4 4 ⎞⎟⎟ Ι= ∫ 1 ⋅ 2+ y y dy = ∫ 1 y+2 dy = ∫1 y+2 dy = ∫1 ⎜⎜ ⎜⎜ y + 2 ⎝ + ⎟ dy = y + 2 ⎟⎠ e e e e (y + 2) (y − 2) 1 1 = ∫1 y+2 dy + 4 ⋅ ∫1 y+2 dy = ∫ (y − 2) dy + 4 ⋅ ∫ y + 2 dy ⇒ 1 1 ⇒ Ι = Ι1 + 4 ⋅ Ι 2 (1) e e ⎡ y2 ⎤ e2 ⎛ 12 ⎞ e2 3 − 2 ⋅1⎟⎟⎟ = • Ι1 = 1 ∫ (y − 2) dy = ⎢⎢ ⎢ ⎣ 2 − 2y ⎥⎥ = ⎥ ⎦1 2 − 2e − ⎜⎜⎜ ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ 2 − 2e + 2 ⇒ e2 − 4e + 3 ⇒ Ι1 = . 2 e e e 1 1 ⎡ ℓn(y + 2)⎤ ′ dy = ⎡ ℓn(y + 2)⎤ = ∫ ∫ ∫ e • Ι2 = dy = ⋅ (y + 2)′ dy = y+2 y+2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ 1 1 1 1 e+2 = ℓn(e + 2) − ℓn(1 + 2) = ℓn(e + 2) − ℓn3 ⇒ Ι2 = ℓn . 3 e2 − 4e + 3 e+2 Τελικά, από την (1) έχω ότι Ι= + 4ℓn . 2 3 - 137 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα