Άσκηση ολοκληρωμάτων 36

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 36 από «Ε2(Θ1)+Κ2(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ ⎡⎣⎢x + συν(πx)⎤⎦⎥ dx . 0 2 1 1 1 1 1 ⎡ x3 ⎤ ⎢ ⎥ + 1 ⋅ π ⋅ συν(πx) dx = Ι= 0 ∫ ⎡ x 2 + συν(πx)⎤ dx = ⎢⎣ ⎥⎦ 0 x 2 dx + 0 συν(πx) ∫dx = ⎢3⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 0 π 0 ∫ ∫ 1 1 13 03 1 1 1 ⎡ηµ(πx)⎤ ′ dx = 1 + 1 ⋅ ⎡ηµ(πx)⎤ = ∫ ∫ 1 = − + ⋅ συν(πx) ⋅ (πx)′ dx = + ⋅ 3 3 π 3 π ⎣⎢ ⎦⎥ 3 π ⎣⎢ ⎦⎥ 0 0 0 1 1 1 1 1 = + ⋅ (ηµπ − ηµ0) = + ⋅ (0 − 0) ⇒ Ι = . 3 π 3 π 3 Στο ολοκλήρωμα αυτό εμφανίστηκε σύνθετη συνάρτηση. Θα πρότεινα τον ακόλουθο τρόπο υπολογισμού, ως ασφαλέστερο ως προς το θέμα των πράξεων. Δεύτερος τρόπος 1 1 1 Ι= ∫ 0 ⎡ x 2 + συν(πx)⎤ dx = ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ x dx + ∫ συν(πx) dx ⇒ Ι = Ι + Ι 0 2 0 1 2 (1) 1 1 ⎡ x3 ⎤ 13 03 1 • Ι1 = 0 ∫ ⎢ x dx = ⎢ ⎥ 2 ⎥ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ 0 = 3 − 3 ⇒ Ι1 = 3 . 1 1 1 1 1 • Ι2 = ∫0 συν(πx) dx = π ⋅ ∫ 0 π ⋅ συν(πx) dx = π ⋅ ∫ συν(πx) ⋅ (πx)′ dx = 0 1 1 ⎡ηµ(πx)⎤ ′ dx = 1 ⋅ ⎡ηµ(πx)⎤ = 1 ⋅ (ηµπ − ηµ0) = 1 ⋅ 0 ⇒ Ι = 0 . ∫ 1 = ⋅ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥ π π ⎣ ⎦0 π π 2 0 Τελικά από την (1) έχω ότι 1 1 Ι= +0⇒ Ι = . 3 3 - 60 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα