Άσκηση ολοκληρωμάτων 31

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 31 από «Ε2(Θ1)+Κ2(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 1 x2 dx . 2 2 2 2 x2 x − x + 1 ⎛ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜⎜ x − 1 + 1 ⎟⎟ dx = ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ dx ⇒ Ι= ∫1 x2 dx = ∫ 1 ⎜⎝ x ⎟ x 2 ⎟⎠ ∫1 x dx + ∫1 ⎜⎝ x 2 ⎟ x ⎟⎠ ⇒ Ι = Ι1 + Ι 2 (1) 2 2 ⎡ 1 ⎤ ⎡ 3 ⎤ 2 1 2 ⎢ 2 +1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎡2 3 ⎤ 2 ⎢ x ⎥ ⎢ x ⎥ 2 ⎡ 3 ⎤2 2 ⎡ ⎤ 2 • Ι1 = ∫ 1 x dx = 1 ∫ x 2 dx = ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ +1 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢⎢ ⋅ x 2 ⎥⎥ = ⋅ ⎢ x ⎥ = ⋅ ⎢ x x ⎥ = ⎥ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 1 3 ⎣ ⎦1 3 ⎣ ⎦1 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 1 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 1 = 2 3 ( 2 ) ⋅ 2 2 − 1 1 ⇒ Ι1 = ⋅ 2 2 − 1 3 ( ) . 2 2 2 1 ⎛1 ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ dx = ⎢− 1 − ℓnx ⎥ = − ⎢ 1 + ℓnx ⎥ = ⎢ 1 + ℓnx ⎥ = • Ι2 = 1 ⎜⎝ x∫2 ⎟ x ⎟⎠ ⎢ x ⎣ ⎥ ⎦1 ⎢x ⎣ ⎥ ⎢ ⎦1 ⎣ x ⎥ ⎦2 1 ⎛1 ⎞ 1 1 = + ℓn1 − ⎜⎜⎜ + ℓn2⎟⎟⎟ = 1 − − ℓn2 ⇒ Ι2 = − ℓn2 . 1 ⎝2 ⎠⎟ 2 2 Τελικά από την (1) έχω ότι Ι= 2 3 ( 1 ) ⋅ 2 2 − 1 + − ℓn2 = 2 4 2 −2 3 1 + − ℓn2 = 2 8 2 −4 + 3 6 − ℓn2 ⇔ 8 2 −1 ⇔ Ι= − ℓn2 . 6 - 57 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 4 ⎛1 ⎞ ⎜⎜ − 3 + 1 ⎟⎟ dx .

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα