Ε1-Π6-εξώφυλλο

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 2 + 1 , g(x) = x − 2 . Να ορίσετε τις συναρτήσεις f o g και g o f.

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , με (g ! f)(x) = 9x 2 − ηµx + 1 και g(x) = 3x − 1 . Να βρείτε την συνάρτηση f. Πηγή: Γιώργος Αποστόλου, Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου, Ιωάννινα, Ιούνιος 2016.

Να βρεθεί η συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το ! , αν (f ! g)(x) = x 2 + 4x − 1 και g(x) = x − 2 . Πηγή: Π. Δ. Τρίμης, 5ο Λύκειο Πετρούπολης. - 133 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 1η ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά στοιχεία συναρτήσεων

Αν f(x) = 2x − 1 και (g ! f)(x) = 1 + x 2 , x ∈ " , να προσδιορίσετε το g(x). Πηγή: Π. Δ. Τρίμης, 5ο Λύκειο Πετρούπολης.

Αν f(x) = 4 − x 2 , g(x) = 1 + x , να βρείτε (αν υπάρχουν) τις συναρτήσεις f o g και f o f.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν μία συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ⎡⎢0 , 6⎤⎥ , να βρεθεί το πεδίο ορισμού ⎣ ⎦ 2 της συνάρτησης h, με h(x) = f(x − 2) .

−αx Δίνεται η συνάρτηση f : ! − {3} → ! , με τύπο f(x) = . Να βρεθεί ο α ∈ ! , ώστε 3−x (f ! f)(x) = x .

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x + 3 , g(x) = 4x + 9 . Να βρεθούν οι f o g και g o f και να εξετασθεί αν είναι ίσες.

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x − 1 , x ∈ ⎡⎢−3 , 3⎤⎥ , και g(x) = 5 − 2x , x ∈ ⎡⎢3 , 7⎤⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Να ορισθούν οι συναρτήσεις f o g και g o f.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το διάστημα ⎡⎢0 ,1⎤⎥ . Ποιο είναι το πεδίο ορι- ⎣ ⎦ σμού των συναρτήσεων: α. f(x 2 ) ; β. f(x − 4) ;

Έστω f , g : ! → ! συναρτήσεις, με f(x) = 3x + 2 και (g ! f)(x) = x 2 − 4x + 1 . Να βρε- θεί ο τύπος της g.

Έστω f , g : ! → ! συναρτήσεις, με f(x) = x + 3 και (f ! g)(x) = e x+1 + 3 . Να βρεθεί ο τύπος της g.

Αν f(x) = αx + β , g(x) = 2x − 1 , να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ των α , β ∈ ! , ώστε g!f = f!g .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Θεωρούμε τις συναρτήσεις f , g : ! → ! . Να αποδειχθούν οι προτάσεις: α. αν οι f και g είναι περιττές, τότε και οι f o g και g o f είναι περιττές. β. αν η f είναι άρτια και η g περιττή, τότε η f o g είναι άρτια. γ. αν η f είναι άρτια, τότε η g o f είναι άρτια.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , με (f ! f)(x) = x 2 − x + 1 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι f(1) = 1 .

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2x − 1 , g(x) = ℓn(9 − x 2 ) . Να λύσετε την εξίσωση (g ! f)(x) = 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , με (g ! f)(2) = 2 και (f ! g)(x) = x 2 − 3x + 4 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα, τουλάχιστον, κοινό σημείο.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται συνάρτηση f : ⎡⎢−16 , 5⎤⎥ → ! και οι συναρτήσεις g(x) = 3x − 4 και h(x) = 9 − x 2 . ⎣ ⎦ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ϕ(x) = (f ! g)(x) + (f ! h)(x) .

1− x Δίνεται συνάρτηση f : ! * → ! και η συνάρτηση g(x) = ℓn . 1+ x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f o g. β. Αν, επιπλέον, ισχύει x ⋅ (f ! g)(x) = −1 , να βρείτε την συνάρτηση f. γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = e x + 2 και g : (2 , + ∞) → ! . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g o f. β. Αν, επιπλέον, ισχύει (g ! f)(x) = x + e3−x , να βρείτε την g.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Θεωρούμε συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε (f ! f ! f)(x) = x 2 − 3x + 4 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε ότι f(2) = 2 .

Αν f(x) = 2 − x , g(x) = ℓnx , να προσδιορίσετε τις f o g, g o f.

2x 1 Αν f(x) = , g(x) = x − 1 , να προσδιορίσετε τις f ! g , g ! f , f ! . x −2 f

Να βρείτε την συνάρτηση f στις παρακάτω περιπτώσεις: α. (f ! g)(x) = 4x 2 − 14x + 13 , αν g(x) = 2x − 3 . β. (f ! g)(x) = 1 + x 2 , αν g(x) = −x 2 . 2−x γ. (f ! g)(x) = , αν g(x) = ℓnx . 2+ x