Before You Start Συμβολισμός συναρτήσεων Ανάγνωση γραφικής παράστασης Αντικατάσταση τιμών σε τύπους Τι Θα Μάθεις Να περιγράφεις πώς τα A, B, C, D αλλάζουν το γράφημα της F(x)=Af(B(xC))+D. Να προβλέπεις έναν μετασχηματισμό πριν σχεδιάσεις το γράφημα. Να συνδέεις τους μετασχηματισμούς με τη σύνθεση και την αντίστροφη συνάρτηση. Δραστηριότητα Προετοιμασίας: Μετακίνησε τη Βασική Συνάρτηση Ξεκίνα από τη βασική συνάρτηση f(x)=x^2. Μην αποστηθίσεις κανόνες. Άλλαζε έναν αριθμό κάθε φορά και περιέγραψε τι συμβαίνει. 1. Σύγκρινε τη f(x)=x^2 με τη g(x)=2x^2. Τι συμβαίνει σε κάθε τιμή του y; 2. Σύγκρινε τη f(x)=x^2 με τη h(x)=(x3)^2. Προς ποια κατεύθυνση μετακινείται το γράφημα; 3. Σύγκρινε τη f(x)=x^2 με τη k(x)=(x+1)^2+2. Γράψε τους μετασχηματισμούς με τη σειρά που επηρεάζουν το γράφημα. Hint: Πάρε μία τιμή, όπως x=2, και σύγκρινε το αποτέλεσμα πριν και μετά την αλλαγή. Solution: Η g(x) τεντώνει κατακόρυφα το γράφημα με συντελεστή 2. Η h(x) μεταφέρει το γράφημα 3 μονάδες δεξιά. Η k(x) μεταφέρει το γράφημα αριστερά κατά 1, το ανακλά ως προς τον άξονα x'x και το ανεβάζει 2 μονάδες. Το Πρότυπο Μετασχηματισμού F(x)=Af(B(xC))+D Το A αλλάζει την έξοδο της βασικής συνάρτησης, άρα δημιουργεί κατακόρυφη μεταβολή ή ανάκλαση. Το B αλλάζει την είσοδο πριν δράσει η βασική συνάρτηση, άρα δημιουργεί οριζόντια μεταβολή ή ανάκλαση. Το C μετακινεί το γράφημα οριζόντια και το D το μετακινεί κατακόρυφα. Οπτική Σύγκριση Το γράφημα y=2(x1)^2+1 προκύπτει από την παραβολή με μετατόπιση δεξιά, κατακόρυφη μεγέθυνση και μετατόπιση προς τα πάνω. Γιατί οι Οριζόντιες Αλλαγές Φαίνονται Αντίθετες Στη f(x3) το γράφημα πηγαίνει δεξιά, επειδή η είσοδος πρέπει να είναι 3 μονάδες μεγαλύτερη για να δεχτεί η βασική συνάρτηση την ίδια τιμή. Για παράδειγμα, η f(x3) συμπεριφέρεται σαν f(0) όταν x=3. Γι' αυτό το παλιό σημείο με x=0 εμφανίζεται στο x=3. Λυμένο Παράδειγμα: Διάβασε τον Τύπο Περιέγραψε τους μετασχηματισμούς στη g(x)=3f(2(x+4))5. Solution: Το γράφημα μεταφέρεται 4 μονάδες αριστερά, συμπιέζεται οριζόντια με συντελεστή 2, ανακλάται ως προς τον άξονα x'x, τεντώνεται κατακόρυφα με συντελεστή 3 και μεταφέρεται 5 μονάδες κάτω. Αντίστροφες Συναρτήσεις f(f^{1}(x))=x \quad \text{και} \quad f^{1}(f(x))=x Η αντίστροφη συνάρτηση αναιρεί τη δράση της αρχικής συνάρτησης. Γραφικά, η αντίστροφη προκύπτει με συμμετρία ως προς την ευθεία y=x. Αν το συμμετρικό γράφημα δεν είναι συνάρτηση, χρειάζεται περιορισμός πεδίου ορισμού. Σύνοψη Οι μετασχηματισμοί γίνονται απλούστεροι όταν ξεχωρίζεις αλλαγές εισόδου και εξόδου. Οι αλλαγές έξω από τη f επηρεάζουν τις τιμές του y, ενώ οι αλλαγές μέσα στη f επηρεάζουν τις τιμές του x. Η αντίστροφη αναιρεί μια συνάρτηση, αλλά υπάρχει μόνο όταν κάθε έξοδος προέρχεται από μία είσοδο. Δοκίμασε 1. Περίγραψε το γράφημα της y=4(x2)^27 από τη βασική y=x^2. 2. Βρες την αντίστροφη της f(x)=3x8. 3. Εξήγησε γιατί η f(x)=x^2 δεν έχει αντίστροφη χωρίς περιορισμό πεδίου ορισμού.