μαθηματικάσυναρτήσειςμετασχηματισμοίενεργό μάθημα

Ενεργό Μάθημα: Μετασχηματισμοί και Αντίστροφες Συναρτήσεις

Mathimatikos Team8 Ιουνίου 20268 λεπτά ανάγνωσης

Σε αυτή τη σελίδα

Πριν Ξεκινήσεις

Συμβολισμός συναρτήσεων
Ανάγνωση γραφικής παράστασης
Αντικατάσταση τιμών σε τύπους

Χρόνος μαθήματος

18 λεπτά

Στόχοι

Τι Θα Μάθεις

Να περιγράφεις πώς τα $A$ , $B$ , $C$ , $D$ αλλάζουν το γράφημα της $F (x) = A f (B (x - C)) + D$ .
Να προβλέπεις έναν μετασχηματισμό πριν σχεδιάσεις το γράφημα.
Να συνδέεις τους μετασχηματισμούς με τη σύνθεση και την αντίστροφη συνάρτηση.

Δραστηριότητα

Δραστηριότητα Προετοιμασίας: Μετακίνησε τη Βασική Συνάρτηση

Ξεκίνα από τη βασική συνάρτηση $f (x) = x^{2}$ . Μην αποστηθίσεις κανόνες. Άλλαζε έναν αριθμό κάθε φορά και περιέγραψε τι συμβαίνει.

Σύγκρινε τη $f (x) = x^{2}$ με τη $g (x) = 2 x^{2}$ . Τι συμβαίνει σε κάθε τιμή του $y$ ;
Σύγκρινε τη $f (x) = x^{2}$ με τη $h (x) = (x - 3)^{2}$ . Προς ποια κατεύθυνση μετακινείται το γράφημα;
Σύγκρινε τη $f (x) = x^{2}$ με τη $k (x) = - (x + 1)^{2} + 2$ . Γράψε τους μετασχηματισμούς με τη σειρά που επηρεάζουν το γράφημα.

Υπόδειξη

Πάρε μία τιμή, όπως $x = 2$ , και σύγκρινε το αποτέλεσμα πριν και μετά την αλλαγή.

Λύση

Η $g (x)$ τεντώνει κατακόρυφα το γράφημα με συντελεστή $2$ .

Η $h (x)$ μεταφέρει το γράφημα $3$ μονάδες δεξιά.

Η $k (x)$ μεταφέρει το γράφημα αριστερά κατά $1$ , το ανακλά ως προς τον άξονα $x^{'} x$ και το ανεβάζει $2$ μονάδες.

Ορισμός

Το Πρότυπο Μετασχηματισμού

F (x) = A f (B (x - C)) + D

Το $A$ αλλάζει την έξοδο της βασικής συνάρτησης, άρα δημιουργεί κατακόρυφη μεταβολή ή ανάκλαση.

Το $B$ αλλάζει την είσοδο πριν δράσει η βασική συνάρτηση, άρα δημιουργεί οριζόντια μεταβολή ή ανάκλαση.

Το $C$ μετακινεί το γράφημα οριζόντια και το $D$ το μετακινεί κατακόρυφα.

Οπτική Σύγκριση

Το γράφημα $y = 2 (x - 1)^{2} + 1$ προκύπτει από την παραβολή με μετατόπιση δεξιά, κατακόρυφη μεγέθυνση και μετατόπιση προς τα πάνω.

Διαδραστικό Γράφημα

Γιατί οι Οριζόντιες Αλλαγές Φαίνονται Αντίθετες

Στη $f (x - 3)$ το γράφημα πηγαίνει δεξιά, επειδή η είσοδος πρέπει να είναι $3$ μονάδες μεγαλύτερη για να δεχτεί η βασική συνάρτηση την ίδια τιμή.

Για παράδειγμα, η $f (x - 3)$ συμπεριφέρεται σαν $f (0)$ όταν $x = 3$ . Γι' αυτό το παλιό σημείο με $x = 0$ εμφανίζεται στο $x = 3$ .

Λυμένο παράδειγμα

Λυμένο Παράδειγμα: Διάβασε τον Τύπο

Περιέγραψε τους μετασχηματισμούς στη $g (x) = - 3 f (2 (x + 4)) - 5$ .

Λύση

Το γράφημα μεταφέρεται $4$ μονάδες αριστερά, συμπιέζεται οριζόντια με συντελεστή $2$ , ανακλάται ως προς τον άξονα $x^{'} x$ , τεντώνεται κατακόρυφα με συντελεστή $3$ και μεταφέρεται $5$ μονάδες κάτω.

Ορισμός

Αντίστροφες Συναρτήσεις

f (f^{- 1} (x)) = x και f^{- 1} (f (x)) = x

Η αντίστροφη συνάρτηση αναιρεί τη δράση της αρχικής συνάρτησης.

Γραφικά, η αντίστροφη προκύπτει με συμμετρία ως προς την ευθεία $y = x$ . Αν το συμμετρικό γράφημα δεν είναι συνάρτηση, χρειάζεται περιορισμός πεδίου ορισμού.

Σύνοψη

Οι μετασχηματισμοί γίνονται απλούστεροι όταν ξεχωρίζεις αλλαγές εισόδου και εξόδου.
Οι αλλαγές έξω από τη $f$ επηρεάζουν τις τιμές του $y$ , ενώ οι αλλαγές μέσα στη $f$ επηρεάζουν τις τιμές του $x$ .
Η αντίστροφη αναιρεί μια συνάρτηση, αλλά υπάρχει μόνο όταν κάθε έξοδος προέρχεται από μία είσοδο.

Εξάσκηση

Δοκίμασε

Περίγραψε το γράφημα της $y = 4 (x - 2)^{2} - 7$ από τη βασική $y = x^{2}$ .
Βρες την αντίστροφη της $f (x) = 3 x - 8$ .
Εξήγησε γιατί η $f (x) = x^{2}$ δεν έχει αντίστροφη χωρίς περιορισμό πεδίου ορισμού.

Εξάσκηση σε συναρτήσεις

Περισσότερα άρθρα

Πώς να δημιουργήσεις φύλλα εργασίας μαθηματικών με απαντήσεις

Επίλεξε πρότυπο, ερωτήσεις και εκδοχές. Δες πώς χωρίζονται το φύλλο μαθητή και οι απαντήσεις και τι χρειάζεται να ελέγξεις πριν την εκτύπωση.

Διαβάστε

Αποθήκευση λύσης σε PDF και επιστροφή στο ιστορικό σου

Πώς διαφέρει το PDF προσωπικής λύσης από το PDF φύλλου εργασίας και πώς χρησιμοποιείς το ιδιωτικό ιστορικό του λογαριασμού σου.

Διαβάστε