Before You Start Εκθετικές συναρτήσεις Επίλυση εξισώσεων Χρήση υπολογιστή για δυνάμεις Τι Θα Μάθεις Να εξηγείς τον λογάριθμο ως απάντηση σε ερώτηση εκθέτη. Να χρησιμοποιείς ιδιότητες λογαρίθμων για μετασχηματισμό παραστάσεων. Να λύνεις εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις ελέγχοντας το πεδίο ορισμού. Δραστηριότητα Προετοιμασίας: Πότε Μένει το Μισό; Μια μπαταρία ξεκινά από 80\% και χάνει το μισό από το υπόλοιπό της κάθε 6 ώρες. Ένα μοντέλο είναι B(t)=80(0.5)^{t/6}. 1. Βρες τα B(0), B(6) και B(12). 2. Εκτίμησε πότε η μπαταρία φτάνει στο 20\%. 3. Εξήγησε γιατί η εξίσωση 20=80(0.5)^{t/6} απαιτεί να αναιρέσεις έναν εκθέτη. Hint: Πρώτα διαίρεσε και τα δύο μέλη με 80. Μετά ρώτα: ποιος εκθέτης κάνει το 0.5 ίσο με 0.25; Solution: B(0)=80, B(6)=40 και B(12)=20, άρα η μπαταρία φτάνει στο 20\% μετά από 12 ώρες. Ο Λογάριθμος \logb x=y \quad \text{αν και μόνο αν} \quad b^y=x Ο λογάριθμος \logb x ρωτά: σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί το b για να πάρουμε x; Επειδή οι λογάριθμοι αναιρούν τις εκθετικές συναρτήσεις, είναι το φυσικό εργαλείο όταν ο άγνωστος βρίσκεται στον εκθέτη. Εκθετική και Λογάριθμος ως Αντίστροφες Τα γραφήματα των y=e^x και y=\ln x είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y=x. Βασικές Ιδιότητες Λογαρίθμων \logb(xy)=\logb x+\logb y: ο πολλαπλασιασμός γίνεται πρόσθεση. \logb\left(\frac{x}{y}\right)=\logb x\logb y: η διαίρεση γίνεται αφαίρεση. \logb(x^r)=r\logb x: ο εκθέτης κατεβαίνει ως συντελεστής. \ln(e^x)=x και e^{\ln x}=x: αυτή είναι η σχέση αντίστροφων συναρτήσεων. Λυμένο Παράδειγμα: Εκθετική Εξίσωση Λύσε την εξίσωση 3^x=17. Solution: Παίρνουμε φυσικούς λογαρίθμους: \ln(3^x)=\ln(17). Με την ιδιότητα της δύναμης: x\ln 3=\ln 17. Άρα x=\frac{\ln 17}{\ln 3}\approx 2.58. Δραστηριότητα: Ανάπτυξη και Σύμπτυξη 1. Ανάπτυξε την παράσταση \log(x^2y^5). 2. Σύμπτυξε την \ln 4+3\ln x\ln(y+1) σε έναν λογάριθμο. 3. Λύσε την \ln(x2)=\ln 7 και γράψε τον περιορισμό πεδίου ορισμού. Hint: Χρησιμοποίησε τις ιδιότητες γινομένου, πηλίκου και δύναμης. Στο τελευταίο ερώτημα πρέπει x20. Solution: \log(x^2y^5)=2\log x+5\log y. \ln 4+3\ln x\ln(y+1)=\ln\left(\frac{4x^3}{y+1}\right). x2=7, άρα x=9, με αρχικό περιορισμό x2. Σύνοψη Ο λογάριθμος είναι εκθέτης γραμμένος από την αντίθετη κατεύθυνση. Οι ιδιότητες λογαρίθμων είναι οι ιδιότητες δυνάμεων μεταφρασμένες στη γλώσσα των λογαρίθμων. Πάντα ελέγχουμε ότι κάθε είσοδος λογαρίθμου είναι θετική. Δοκίμασε 1. Γράψε την 2^5=32 ως λογαριθμική πρόταση. 2. Λύσε την 5e^{0.2t}=30. 3. Βρες το πεδίο ορισμού της f(x)=\ln(2x6).