μαθηματικάλογάριθμοιεκθετικέςενεργό μάθημα

Ενεργό Μάθημα: Λογαριθμικές Συναρτήσεις

Mathimatikos Team8 Ιουνίου 20269 λεπτά ανάγνωσης

Σε αυτή τη σελίδα

Πριν Ξεκινήσεις

Εκθετικές συναρτήσεις
Επίλυση εξισώσεων
Χρήση υπολογιστή για δυνάμεις

Χρόνος μαθήματος

20 λεπτά

Στόχοι

Τι Θα Μάθεις

Να εξηγείς τον λογάριθμο ως απάντηση σε ερώτηση εκθέτη.
Να χρησιμοποιείς ιδιότητες λογαρίθμων για μετασχηματισμό παραστάσεων.
Να λύνεις εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις ελέγχοντας το πεδίο ορισμού.

Δραστηριότητα

Δραστηριότητα Προετοιμασίας: Πότε Μένει το Μισό;

Μια μπαταρία ξεκινά από $80%$ και χάνει το μισό από το υπόλοιπό της κάθε $6$ ώρες. Ένα μοντέλο είναι $B (t) = 80 (0.5)^{t /6}$ .

Βρες τα $B (0)$ , $B (6)$ και $B (12)$ .
Εκτίμησε πότε η μπαταρία φτάνει στο $20%$ .
Εξήγησε γιατί η εξίσωση $20 = 80 (0.5)^{t /6}$ απαιτεί να αναιρέσεις έναν εκθέτη.

Υπόδειξη

Πρώτα διαίρεσε και τα δύο μέλη με $80$ . Μετά ρώτα: ποιος εκθέτης κάνει το $0.5$ ίσο με $0.25$ ;

Λύση

$B (0) = 80$ , $B (6) = 40$ και $B (12) = 20$ , άρα η μπαταρία φτάνει στο $20%$ μετά από $12$ ώρες.

Ορισμός

Ο Λογάριθμος

lo g_{b} x = y αν και μ \overset{ο}{ˊ} νο αν b^{y} = x

Ο λογάριθμος $lo g_{b} x$ ρωτά: σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί το $b$ για να πάρουμε $x$ ;

Επειδή οι λογάριθμοι αναιρούν τις εκθετικές συναρτήσεις, είναι το φυσικό εργαλείο όταν ο άγνωστος βρίσκεται στον εκθέτη.

Εκθετική και Λογάριθμος ως Αντίστροφες

Τα γραφήματα των $y = e^{x}$ και $y = ln x$ είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία $y = x$ .

Διαδραστικό Γράφημα

Ορισμός

Βασικές Ιδιότητες Λογαρίθμων

$lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$ : ο πολλαπλασιασμός γίνεται πρόσθεση.

$lo g_{b} (\frac{x}{y}) = lo g_{b} x - lo g_{b} y$ : η διαίρεση γίνεται αφαίρεση.

$lo g_{b} (x^{r}) = r lo g_{b} x$ : ο εκθέτης κατεβαίνει ως συντελεστής.

$ln (e^{x}) = x$ και $e^{l n x} = x$ : αυτή είναι η σχέση αντίστροφων συναρτήσεων.

Λυμένο παράδειγμα

Λυμένο Παράδειγμα: Εκθετική Εξίσωση

Λύσε την εξίσωση $3^{x} = 17$ .

Λύση

Παίρνουμε φυσικούς λογαρίθμους: $ln (3^{x}) = ln (17)$ .

Με την ιδιότητα της δύναμης: $x ln 3 = ln 17$ .

Άρα $x = \frac{l n 17}{l n 3} \approx 2.58$ .

Δραστηριότητα

Δραστηριότητα: Ανάπτυξη και Σύμπτυξη

Ανάπτυξε την παράσταση $lo g (x^{2} y^{5})$ .
Σύμπτυξε την $ln 4 + 3 ln x - ln (y + 1)$ σε έναν λογάριθμο.
Λύσε την $ln (x - 2) = ln 7$ και γράψε τον περιορισμό πεδίου ορισμού.

Υπόδειξη

Χρησιμοποίησε τις ιδιότητες γινομένου, πηλίκου και δύναμης. Στο τελευταίο ερώτημα πρέπει $x - 2 > 0$ .

Λύση

$lo g (x^{2} y^{5}) = 2 lo g x + 5 lo g y$ .

$ln 4 + 3 ln x - ln (y + 1) = ln (\frac{4 x ^{3}}{y + 1})$ .

$x - 2 = 7$ , άρα $x = 9$ , με αρχικό περιορισμό $x > 2$ .

Σύνοψη

Ο λογάριθμος είναι εκθέτης γραμμένος από την αντίθετη κατεύθυνση.
Οι ιδιότητες λογαρίθμων είναι οι ιδιότητες δυνάμεων μεταφρασμένες στη γλώσσα των λογαρίθμων.
Πάντα ελέγχουμε ότι κάθε είσοδος λογαρίθμου είναι θετική.

Εξάσκηση

Δοκίμασε

Γράψε την $2^{5} = 32$ ως λογαριθμική πρόταση.
Λύσε την $5 e^{0.2 t} = 30$ .
Βρες το πεδίο ορισμού της $f (x) = ln (2 x - 6)$ .

Εξάσκηση στους λογαρίθμους

Περισσότερα άρθρα

Πώς να δημιουργήσεις φύλλα εργασίας μαθηματικών με απαντήσεις

Επίλεξε πρότυπο, ερωτήσεις και εκδοχές. Δες πώς χωρίζονται το φύλλο μαθητή και οι απαντήσεις και τι χρειάζεται να ελέγξεις πριν την εκτύπωση.

Διαβάστε

Αποθήκευση λύσης σε PDF και επιστροφή στο ιστορικό σου

Πώς διαφέρει το PDF προσωπικής λύσης από το PDF φύλλου εργασίας και πώς χρησιμοποιείς το ιδιωτικό ιστορικό του λογαριασμού σου.

Διαβάστε